Лекция 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока 10 страница
а) б)
Рисунок 3.31 – Последовательное соединение индуктивно связанных катушек при согласном (а) и встречном (б) включении
Пусть к зажимам цепи приложено синусоидально напряжение u , под действием которого в этой цепи возникает ток i . На основании 2-го закона Кирхгофа можем записать:
u = u1 + u2 , (3.137)
u = iR + L
di ± M
di ,
u = iR + L
di ± M
di , (3.138)
1 1 1 dt dt 2 2 2 dt dt
где знак «+» перед слагаемым
M di dt
соответствует согласному включению катушек
(рисунок 3.31, а); знак «–» — их встречному включению (рисунок 3.31, б). Величины R1
и R2
в уравнениях (3.138) обозначают активные сопротивления катушек;
L1 и L2
— их
индуктивности; M — взаимную индуктивность.
При синусоидально изменяющемся токе в цепи от соотношений (3.137), (3.138)
можно перейти к комплексным изображениям величин:
U& = U&1 + U& 2 , (3.139)
U&1 = R1I& + j w(L1 ± M )I& , U& 2 = R2I& + j w(L2 ± M )I& . (3.140)
Обозначая X1 = w L1 и X 2 = w L2 — реактивные сопротивления самих катушек,
X M = w M — реактивное сопротивление взаимоиндукции, уравнения (3.140)
перепишем так:
U&1 = R1I& +
j(X1 ± X M )I& ,
|
|
|
U& 2 = R2I& +
j(X 2 ± X M )I& . (3.141)
Подставляя (3.141) в (3.139), получим уравнение
U& = (R1 + R2 )I& + j(X1 + X 2 ± 2 X M )I& = (R эк в +
jX эк в )I& , (3.142)
в котором величины
R экв = R1 + R2 ,
X экв = X1 + X 2 ± 2 X M
(3.143)
определяют соответственно полное активное и полное реактивное сопротивления последовательной цепи. Полное комплексное сопротивление этой цепи согласно (3.142) равно:
Z экв
= U&
I&
= R экв +
jX экв
. (3.144)
Из (3.144) следует выражение закона Ома в комплексной форме для
последовательной цепи с индуктивно связанными элементами (катушками):
I& =
U&
Z экв
. (3.145)
Обозначим полное реактивное сопротивление цепи при согласном включении
катушек символом
(3.143) следует:
X согл ; при встречном включении — символом
X встр . Из формул
X согл = X1 + X 2 + 2 X M , X встр = X1 + X 2 - 2 X M , (3.146)
т.е.
X согл > X встр , что на основании закона Ома (3.145) позволяет сформулировать
простое правило для экспериментального определения характера включения индуктивно связанных катушек в случае их последовательного соединения: при неизменном напряжении в цепи встречному включению катушек соответствует ток большей величины в сравнении с их согласным включением.
|
|
|
Из формул (3.146) также следует простой способ экспериментального определения величины коэффициента взаимной индуктивности M :
M = X согл - X встр . (3.147)
4w
На рисунке 3.32 показаны векторные диаграммы для согласного (рисунок 3.32, а) и встречного (рисунок 3.32, б) включения индуктивно связанных катушек при одинаковых значениях тока I& в обоих случаях.
 |  |
а) б)
Рисунок 3.32 – Векторные диаграммы токов и напряжений для согласного (а) и встречного (б) включения индуктивно связанных катушек при их последовательном соединении
Указанные диаграммы построены на основании уравнений (3.141), (3.142).
3.14.4 Параллельное соединение индуктивно связанных катушек
Параллельное соединение двух индуктивно связанных катушек показано на рисунке 3.33.
 |  |
а) б)
|
|
|
Рисунок 3.33 – Параллельное соединение индуктивно связанных катушек при согласном (а) и встречном (б) включении
Пусть к зажимам цепи приложено синусоидально напряжение u , под действием
которого в ветвях этой цепи возникают токи i , i1 и i2 . На основании 2-го закона
Кирхгофа для двух контуров, образованных источником энергии и каждой из параллельных ветвей, получаем следующую систему уравнений:
u = i R + L
di1 ± M
di2 ,
u = i R + L
di2 ± M di1 , (3.148)
1 1 1 dt dt 2 2 2 dt dt
где знак «+» перед слагаемыми
M di1 dt
и M di2 dt
соответствует согласному
включению катушек (рисунок 3.33, а); знак «–» — их встречному включению
(рисунок 3.33, б). Величины
R1 и R2
в уравнениях (3.148) обозначают активные
сопротивления катушек;
L1 и L2
— их индуктивности; M — взаимную индуктивность.
При синусоидально изменяющемся токе в цепи от соотношений (3.148) можно перейти к комплексным изображениям величин:
U& = R1I&1 + j w L1I&1 ±
j w M I&2 , U& = R2I&2 +
j w L2I&2 ± j w M I&1 . (3.149)
Обозначая Z 1 = R1 + j w L1 и Z 2 = R2 +
j w L2 — полные комплексные
сопротивления катушек, Z M =
j w M
— комплексное сопротивление взаимоиндукции,
уравнения (3.149) перепишем так:
|
|
|
U& = Z1I&1 ± Z M I&2 ,
U& = ±Z M I&1 + Z 2I&2 . (3.150)
|
I&1 и
I&2 , получим
Ä = Z 1
± Z M
± Z M
Z 2
= Z 1 Z 2
- Z 2 ,
Ä = U&
1 U&
± Z M
Z 2
= U& (Z 2
m Z M ),
Ä2 =
Z 1
± Z M
U& = U& (Z U& 1
m Z M ),
|
|
|
|
I& = Ä2 = U& (Z 1 m Z M ) . (3.151)
|
|
2 Ä ZZ
- Z 2
Ток I& в неразветвленной части цепи можно получить согласно 1-му закону Кирхгофа:
или, учитывая (3.151),
I& = I&1 + I&2
(3.152)
I& = U& (Z 1 + Z 2 m 2Z M ) . (3.153)
2
|
 |  |
а) б)
Рисунок 3.34 – Векторные диаграммы токов и напряжений для согласного (а) и встречного (б)
включения индуктивно связанных катушек при их параллельном соединении
На рисунке 3.34 показаны векторные диаграммы для согласного (рисунок 3.34, а) и встречного (рисунок 3.34, б) включения индуктивно связанных катушек. Эти диаграммы построены на основании уравнений (3.150), (3.152).
Из сравнения формул (3.151) следует, что токи в параллельных ветвях при согласном включении индуктивно связанных катушек меньше, чем при их встречном включении (знак «–» в числителях формул (3.151) соответствует согласному включению катушек; знак «+» — встречному включению).
3.14.5 Особенности расчета сложных разветвленных цепей при наличии взаимных индуктивностей
Расчет сложных разветвленных цепей при наличии взаимных индуктивностей в них может быть осуществлен путем составления уравнений по 1-му и 2-му законам Кирхгофа или методом контурных токов (такая методика, например, уже была использована в разделах 3.14.3 и 3.14.4).
В качестве примера запишем уравнения метода контурных токов для схемы цепи, представленной на рисунке 3.35.
 |
Рисунок 3.35 – Схема цепи, иллюстрирующая применение метода контурных токов к расчету разветвленных цепей с индуктивной связью
Данная схема имеет
n = 2
независимых контура, в которых циркулируют два
контурных тока:
I&11
— контурный ток 1-го контура и
I&22
— контурный ток 2-го
контура. Эти токи являются решением системы уравнений
⎧⎛ 1 ⎞ & & &
⎪⎜ R1 +
⎪⎝
j w L1 -
j w C
+ R3 +
j w L3 -
j2w M ⎟I11 - (R3 +
⎠
& ⎛
j w3L3 -
j w M )I22 = E1;
⎨
|
⎩
j w3L3 -
j w M )I11 + ⎜ R2 -
⎝
j 1
w C2
+ R3 +
⎞
|
|
⎠
Непосредственное применение метода узловых потенциалов для расчета магнито- связанных цепей невозможно, поскольку в этом случае ток в ветви зависит не только от ЭДС, находящегося в ней источника и от потенциалов тех узлов, к которым ветвь присоединена, но и от токов других ветвей, которые наводят ЭДС взаимной индукции.
Метод эквивалентного генератора можно применять, если внешняя по отношению к генератору часть цепи не имеет индуктивных связей с той частью цепи, которая входит в состав этого генератора.
Чтобы обойти указанные выше ограничения в применении расчетных методов, в ряде случаев целесообразно исключить индуктивные связи путем замены тех частей
цепи, которые их содержат, эквивалентными схемами без индуктивных связей
(подробнее см. раздел 3.14.6).
3.14.6 Развязывание магнито-связанных цепей
Для упрощения расчетов цепей с взаимной индуктивностью часто используют специальный расчетный метод, называемый «развязыванием магнито-связанных цепей». Сущность метода заключается в том, что исходную схему с индуктивно связанными катушками путем введения дополнительных индуктивностей и изменения имеющихся преобразуют так, что магнитная связь между всеми индуктивностями в преобразованной схеме отсутствует.
Так как преобразования осуществляются на основе составленных по законам Кирхгофа уравнений для исходной схемы, то вновь полученная и исходная схемы в расчетном смысле полностью эквиваленты, а расчет схемы после развязывания упрощается за счет возможности применения метода узловых потенциалов.
Составим, например, эквивалентную расчетную схему для схемы замещения цепи, изображенной на рисунке 3.36.
 |
Рисунок 3.36 – Схема замещения цепи с взаимной индуктивностью
На основании 2-го закона Кирхгофа для исходной схемы рисунка 3.36 можем составить следующую систему уравнений:
E&1 = R1I&1 +
j w L1I&1 -
j w M I&2 ,
E&2 = R2I&2 +
j w L2I&2 -
j w M I&1 . (3.154)
Рисунок 3.37 – Эквивалентная расчетная схема, не содержащая индуктивной связи
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 186; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!