Лекция 6. Переходные процессы в линейных электрических цепях и методы их анализа 1 страница

6.1 Определение переходных процессов в цепи. Законы коммутации

Электромагнитные процессы, возникающие в электрической цепи при переходе от одного установившегося (стационарного) режима к другому, называются переходными. Переходной процесс возникает при коммутации, т.е. при подключении или отключении источников электрической энергии, а также при скачкообразном изменении схемы цепи либо параметров входящих в нее элементов.

На схемах замещения коммутацию обозначают в виде ключа со стрелкой

(рисунок 6.1, а — замыкание, рисунок 6.1, б — размыкание, рисунок 6.1, в —

переключение).

а) б) в)

Рисунок 6.1 – Контакт коммутационного устройства замыкающий (а),

размыкающий (б), переключающий (в)

Считают, что коммутация происходит в течение бесконечно малого промежутка времени, т.е. мгновенно. Момент коммутации обычно принимают за начало отсчета,

т.е. в момент коммутации коммутацией обозначают коммутации — t = 0+ .

t = 0 . При этом момент времени непосредственно перед

t = 0- , а момент времени непосредственно после

Переходной процесс завершается установлением стационарного состояния, при

котором токи, напряжения и ЭДС в электрической цепи являются или постоянными, или периодическими функциями времени. Теоретически переходной процесс может длиться бесконечно долго, и в этом смысле стационарное состояние является математической идеализацией.

Переходные процессы в цепи удовлетворяют двум законам коммутации.

Первый закон коммутации: ток в индуктивности непосредственно до коммутации равен току в той же индуктивности непосредственно после коммутации:

i L (0- ) = i L (0+ ), (6.1)

где i L

— ток в индуктивности.

Второй закон коммутации: напряжение на ёмкости непосредственно до

коммутации равно напряжению на той же ёмкости непосредственно после коммутации:

u C (0- ) = u C (0+ ), (6.2)

где u C — напряжение на ёмкости.

Примечание – Из законов коммутации следует, что при переходном процессе в цепи ток в индуктивности и напряжение на ёмкости не могут измениться скачком.

6.2 Обоснование невозможности скачка тока в индуктивности и скачка напряжения на ёмкости. Физическая причина возникновения переходных процессов

С энергетической точки зрения невозможность мгновенного изменения тока в индуктивности и напряжения на ёмкости объясняется невозможностью скачкообразного изменения запасенной в них энергии: энергии магнитного поля катушки

W L и энергии электрического поля конденсатора W C :

W L =

Li2

W C =

Cu2

. (6.3)

Действительно, скачкообразное изменение энергии требует бесконечно больших

мощностей

p L и

p C в индуктивных и ёмкостных элементах, так как

p = lim Ä W L

= dW L

= ¥ ,

p = lim Ä W C

= dW C

= ¥. (6.4)

L Ä t®0 Ä t dt

C Ä t®0 Ä t dt

Поскольку реальные источники питания не обладают бесконечно большой мощностью,

то мгновенное изменение энергий W L

и W C

невозможно.

Физической причиной возникновения переходных процессов в цепях является наличие в них энергоемких элементов: катушек индуктивности и конденсаторов, т.е. индуктивных и ёмкостных элементов в соответствующих схемах замещения. Эти элементы накапливают энергию в виде энергии магнитного и электрического полей, поэтому процесс перехода к новому стационарному состоянию, обусловленный изменением электромагнитной энергии цепи, требует некоторой продолжительности во времени.

В цепях, не содержащих энергоемких элементов и состоящих, например, только из активных сопротивлений, накопления энергии нет и переход к новому установившемуся состоянию происходит практически мгновенно. Поэтому можно считать, что в таких цепях переходные процессы отсутствуют.

6.3 Общая характеристика методов анализа переходных процессов

Основными методами анализа переходных процессов в линейных электрических цепях являются:

1) классический метод, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих переходной процесс.

2) метод переменных состояния, представляющий упорядоченный способ анализа переходного процесса в цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений 1-го порядка, записанных в нормальной форме (форме Коши).

3) операторный метод, основанный на интегральных преобразованиях Лапласа, позволяющих сложные математические операции решения дифференциальных уравнений заменить решением простой системы алгебраических уравнений, записанной в операторной форме.

4) метод наложения (метод интеграла Дюамеля), используемый при анализе воздействия на электрическую цепь тока или напряжения произвольной (сложной) формы.

6.4 Классический метод расчета переходных процессов. Основные положения Классический метод анализа переходных процессов основан на уравнениях состояния (уравнениях равновесия), составленных для мгновенных значений токов и

напряжений согласно законам Кирхгофа или с помощью других методов расчета цепей.

Так как мгновенные значения напряжений и токов в реактивных элементах цепи (индуктивных катушках и конденсаторах) связаны между собой дифференциальными (или интегральными) соотношениями (см. таблицу 1.1), то уравнение, описывающее переходной процесс в линейной цепи, является в общем случае линейным неоднородным

дифференциальным уравнением n - го порядка:

d n x(t ) +

d n -1x(t ) +

+ dx(t ) +

( ) = ( )

a n dt n

a n-1

dt n -1

K a1 dt

a0 x t f t , (6.5)

где

x(t ) — искомая функция времени (ток, напряжение и др.);

f (t ) — функция,

описывающая влияние внешнего воздействия на цепь (ток или напряжение источника

электрической энергии); a n , a n-1 , K , a1, a0 — постоянные коэффициенты,

определяемые схемой цепи или параметрами ее элементов (величинами R , L и C ).

Порядок составления дифференциального уравнения (6.5), определяющего состояние электрической цепи в переходном режиме, следующий:

1) дифференциальное уравнение составляется для цепи после коммутации, т.е. при t ³ 0 ;

2) если цепь одноконтурная, то уравнение составляется по 2-му закону Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений;

3) в случае многоконтурной цепи на основании 1-го и 2-го законов Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений составляется система уравнений, которая затем сводится к одному уравнению.

Согласно теории дифференциальных уравнений полное решение x(t )

уравнения (6.5) записывается в виде

x(t ) = x(t )+ x * (t ), (6.6)

где x * (t ) — частное решение неоднородного уравнения (6.5) с правой частью f (t ) ¹ 0 ,

x(t ) — общее решение соответствующего однородного уравнения, получаемого из

уравнения (6.5) путем замены нулем его правой части, т.е. при f (t ) = 0 :

d n x(t )

a n dt n

a n-1

d n -1x(t )

+ +

dt n -1 K a1

dx(t ) +

a0 x(t ) =

0 . (6.7)

Общее решение x(t ) однородного уравнения (6.7) не зависит от внешнего

воздействия, так как правая часть f (t ), характеризующая это воздействие, принята

равной нулю. Поэтому процесс, определяемый функцией x(t ), называется свободным

процессом, а сама функция x(t ) — свободной составляющей, т.е.

x(t ) = x св (t ).

Свободные процессы возникают за счет изменения запаса энергии в индуктивных и ёмкостных элементах цепи, а их характер определяется схемой цепи и параметрами ее

элементов.

Частное решение x * (t ) неоднородного уравнения (6.5), напротив, зависит только

от вида входного воздействия f (t ), т.е. при постоянном воздействии оно также будет

постоянным, при синусоидальном — синусоидальным и т. д. Поэтому функция x * (t )

пр

называется принужденной составляющей, т.е. x * (t ) = x (t ).

Общее решение (6.6) уравнения (6.5), следовательно, имеет вид:

x(t ) = x св (t )+ x пр (t ). (6.8)

Соотношение (6.8) означает, что послекоммутационный процесс можно рассматривать как суперпозицию двух режимов — принужденного, наступающего как бы сразу после коммутации, и свободного, имеющего место только в течение переходного процесса.

Метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях, основанный на представлении решения дифференциального уравнения (6.5) в виде суммы свободной и принужденной составляющих, называется классическим методом анализа.

Примечание – Поскольку начальный запас энергии в пассивных элементах цепи всегда ограничен, при наличии потерь в них, свободные процессы с течением времени

затухают, т.е.

lim

t®+¥

x св (t ) = 0 . Из формулы (6.8) тогда следует, что

x пр (t ) = x уст (t ). (6.9)

Это означает, что принужденная составляющая

x пр (t )

соответствует

установившемуся режиму работы цепи

x уст (t ), поэтому может быть определена

путем расчета стационарного состояния послекоммутационной схемы.

6.5 Структура свободной составляющей переходного процесса. Понятие о начальных условиях

Вид общего решения однородного уравнения (6.7), т.е. структура свободной

составляющей переходного процесса x св (t ) зависит от корней l k характеристического уравнения

n-1

a l n + a l n-1 +K+ a l + a = 0 , (6.10)

которое получается из однородного уравнения (6.7) путем замены функции

x(t ) на

единицу, а ее производных — на l m , где m — порядок производной ( m = 1,n ). Корни

l k могут быть действительными или комплексно-сопряженными, простыми или

кратными, поэтому свободная составляющая x св (t ) представима выражением

где явный вид функций

x с в (t ) = y1(t )+ y2 (t )+K+ y k (t ), (6.11)

y k (t ) ( k £ n ) определяется типом и кратностью корней

характеристического уравнения (6.10). В общем случае характеристического уравнения произвольной степени n все возможные типы таких функций представлены в таблице 6.1.

Таблица 6.1 – Тип функций, определяемых корнями характеристического уравнения

Тип корня и его кратность m k	Вид корня l k	Вид функции y k (t ), соответствующей корню l k	Постоянная интегрирования
Действительный однократный, m k = 1	l k = a	y (t ) = Ae ^a t k	A = const
Действительный m k – кратный, m k > 1	l k = a	m k y k (t ) =å A m t e m-1 a t m=1	A m = const , m = 1,m k
Комплексно- сопряженный однократный, m k = 1	l k = a ± j b	y (t ) = Ae ^a t sin(b t + c ) k	A = const ; c = const
Комплексно- сопряженный m k – кратный, m k > 1	l k = a ± j b	m k y (t ) =å A t m-1e ^a t si n(b t + c ) k m m m=1	A m = const ; c m = const , m = 1,m k

Примечание – Необходимо помнить, что, поскольку в линейной цепи с течением времени свободная составляющая затухает, вещественные части корней характеристического уравнения не могут быть положительными.

Коэффициенты A m и c m каждой из функций y k (t ) (см. таблицу 6.1) являются

постоянными интегрирования и определяются из начальных условий. Начальными

условиями (начальными значениями) называют значения токов и напряжений в схеме в момент коммутации, т.е. при t = 0 .

Различают следующие типы начальных условий:

1) докоммутационные и послекоммутационные;

2) независимые и зависимые;

3) нулевые и ненулевые.

Докоммутационными условиями называют значения токов и напряжений в схеме при t = 0- ; послекоммутационными — значения токов и напряжений при t = 0+ .

Значения токов в индуктивностях и напряжений на ёмкостях, известные из докоммутационного режима, называют независимыми начальными условиями, а значения всех остальных токов и напряжений в послекоммутационной схеме — зависимыми условиями.

Если в электрической цепи непосредственно перед коммутацией все токи и напряжения на пассивных элементах схемы равны нулю, имеют место нулевые начальные условия. Если же к началу переходного процесса хотя бы часть токов и напряжений в схеме не равны нулю, имеют место ненулевые начальные условия.

6.6 Последовательность расчета переходных процессов в цепи классическим методом

При анализе переходных процессов в линейных электрических цепях классическим методом необходимо придерживаться следующей последовательности действий:

1) составить на основании законов Кирхгофа систему дифференциальных уравнений для исследуемой цепи (в случае одноконтурной цепи — одно уравнение непосредственно по 2-му закону Кирхгофа);

2) выбрать основную переменную x(t ) и исключением других переменных из

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 309; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 12 13 14 15 161718 19 20 21 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!