Лекция 6. Переходные процессы в линейных электрических цепях и методы их анализа 5 страница
где U Cm
и I m
— амплитуды напряжения и тока, определяемые равенствами
|
|
|
. (6.72)
Cm 0 m
св св
Напряжение на индуктивности равно:
u = L di = U e-d t sin(w
t - c ),
U = w0 U
. (6.73)
L dt Lm св
Lm 0
св
|
u C , i и u L
в переходном режиме, построенные
согласно выражениям (6.71) – (6.73), приведены на рисунке 6.11.
 |
Рисунок 6.11 – Временная диаграмма токов и напряжений в цепи при колебательном разряде конденсатора
Из полученных аналитических выражений (6.71) – (6.73), а также из рисунка 6.11 видно, что процесс в данном случае является колебательным. Ток и напряжение на всех участках периодически меняют знак. Амплитуда колебаний убывает по экспоненциальному закону, следовательно, в цепи совершаются затухающие колебания тока и напряжения. Данный режим поэтому называется колебательным разрядом конденсатора.
Сущность переходного процесса при колебательном разряде сводится к следующему.
При разряде конденсатора энергия его электрического поля расходуется, во- первых, на покрытие тепловых потерь, а, во-вторых, большей своей частью переходит в энергию магнитного поля индуктивной катушки.
|
|
|
Поэтому, когда напряжение u C
пройдет через нуль, и конденсатор полностью
разрядится, в магнитном поле катушки индуктивности накопится энергия, достаточная для поддержания тока прежнего направления, покрытия тепловых потерь и перезарядки конденсатора.
Конденсатор не может перезарядиться до прежнего по абсолютной величине напряжения, так как вследствие тепловых потерь общая энергия электромагнитного поля, связанная с контуром, непрерывно убывает.
Быстроту затухания рассматриваемых колебаний принято оценивать декрементом колебаний , равным отношению двух последующих мгновенных значений тока или напряжения одного знака, а также логарифмическим декрементом
колебаний J :
Ä = u C (t ) u C (t + T св )
= e d T с в ,
J = ln Ä = d T св
, (6.74)
где T св = 2p
w св
— период свободных колебаний.
Из (6.74) следует, что декремент зависит только от параметров цепи. Наибольшее влияние на декремент колебательного процесса оказывает величина сопротивления R .
С увеличением R затухание увеличивается, а при R = R кр колебания прекращаются.
Наоборот, при уменьшении R затухание уменьшается и при становится равным нулю.
R = 0
(контур без потерь)
|
|
|
6.10 Расчет переходных процессов в разветвленных электрических цепях. Способы составления характеристического уравнения
При анализе переходных процессов в разветвленных электрических цепях возникает необходимость в составлении дифференциальных уравнений состояния цепи не только по 2-му закону Кирхгофа, как это делалось в рассмотренных выше неразветвленных цепях, но и по 1-му закону Кирхгофа или же в использовании общих методов расчета цепей, например, метода контурных токов или метода узловых потенциалов.
Общий алгоритм классического метода анализа переходных процессов в разветвленных и неразветвленных цепях был сформулирован в разделе 6.6, поэтому здесь рассмотрим его практическую реализацию на примере цепи с источником постоянного напряжения (рисунок 6.12).
 |
Рисунок 6.12 – Схема разветвленной цепи при переходном процессе
В соответствии с 1-м и 2-м законами Кирхгофа для рассматриваемой цепи составим систему уравнений:
i1 - i2 - i3 = 0 ;
i1R1 + i2R2 = E ; (6.75)
- i R + i R + L
di3 + 1 òi dt = 0 .
 |
2 2 3 3
3 dt C 3
Исключив из этой системы уравнений токи i1
|
и i2 , получим уравнение для
|
|
|
L3C3
(R1
+ R2
) d 2i dt 2
+ C3
(R1R2
+ R2R3
+ R1R3
) di3
dt
+ (R1
+ R2
)i3
= 0 . (6.76)
Дифференциальное уравнение (6.76) является однородным уравнением, поэтому
его общее решение существует в форме свободной составляющей тока, т.е.
i3 = i3св .
Структура функции
i3св
определяется корнями характеристического уравнения, которое
в данном случае имеет вид
L C (R + R )l2 + C
(R R
+ R R
+ R R
)l + (R
+ R ) = 0 . (6.77)
3 3 1 2
3 1 2
2 3 1 3 1 2
Дальнейший ход решения задачи принципиально ничем не отличается от ранее рассмотренных (в разделах 6.7 – 6.9) примеров анализа переходных процессов в одноконтурных цепях. Необходимо рассчитать корни характеристического
уравнения (6.77), зная которые на основании таблицы 6.1 построить для тока i3
аналитическое выражение вида (6.11) и доопределить в нем произвольные постоянные в соответствии с заданными начальными условиями. Далее, в зависимости от условия задачи, необходимо рассчитать остальные токи или напряжения в цепи при переходном
процессе. В частности, для схемы цепи, изображенной на рисунке 6.12, токи i1 и i2
можно выразить через уже известный ток i3
следующим образом:
|
|
|
|
|
R1 + R2 R1 + R2
Как следует из всех вышерассмотренных примеров анализа переходных процессов классическим методом, наиболее важным его моментом является процедура составления характеристического уравнения.
Существует три основных способа составления характеристического уравнения:
1) непосредственно на основе однородного дифференциального уравнения вида (6.7);
2) на основе выражения главного определителя системы дифференциальных уравнений;
3) путем использования выражения для входного сопротивления цепи на переменном (синусоидальном) токе.
Согласно первому способу характеристическое уравнение было получено в разделах 6.7 – 6.9 и в данном разделе. Рассмотрим два альтернативных способа составления характеристических уравнений.
6.10.1 Алгебраизация системы дифференциальных уравнений, описывающих переходной процесс, и составление характеристического уравнения на основе главного определителя этой системы
Поскольку характеристическое уравнение всегда составляется на основе однородного дифференциального уравнения, то его структура от действующих в цепи принуждающих сил — токов и ЭДС источников электрической энергии — никак не зависит. Это означает, что исходную систему дифференциальных уравнений для полных
токов и напряжений
i = i св + i пр ,
u = u св + u пр
можно заменить эквивалентной системой
однородных уравнений для свободных токов и напряжений уравнений (6.75) для свободных токов запишется так:
i1св - i2св - i3св = 0 ;
i св ,
u св . Например, система
i1св R1 + i2св R2 = 0 ; (6.78)
- 
i R + i R + L
di3св
+ 1 òi
dt = 0 .
2св 2 3св 3
3 dt
3св
3
Известно, что решение однородного дифференциального уравнения можно
записать в виде показательной функции
Ae pt , где величина p , являющаяся корнем
характеристического уравнения, может быть как вещественной, так и комплексной, т.е.
согласно таблице 6.1 допустимы следующие значения p : p = l k = a или
p = l k = a ± j b . Таким образом, уравнение для свободного тока можно представить в
виде
i = Ae pt , причем постоянная интегрирования A для каждого из токов
i1св ,
i2св ,
|
будет своя, а показатель затухания p одинаков для всех свободных токов.
Физически это объясняется тем, что вся линейная цепь охвачена единым переходным процессом, поэтому корни характеристического уравнения являются общими для всех
свободных составляющих токов и напряжений ветвей схемы, параметры которой и входят в это характеристическое уравнение.
Найдем производную и интеграл от свободного тока:
di св = d (Ae
pt )=
pAe pt
= pi св ,
òi с в dt
=ò Ae
pt dt =
Ae pt
= i св ,
dt dt p p
следовательно, производную от свободного тока можно заменить на pi св , а свободное
напряжение на индуктивности, т.е. величину Ld i с в dt — на ( pL)i с в . Аналогично
интеграл от свободного тока может быть заменен величиной
i св
p , а свободное
напряжение на конденсаторе — величиной i св ( pC ).
Произведем указанные замены в системе уравнений для свободных токов (6.78):
i1св - i2св - i3св = 0 ;
i1св R1 + i2св R2 = 0 ; (6.79)
|
- i2св R2 + ⎜ R3 + pL3 + pC
⎞
⎟i3св = 0 .
⎝ 3 ⎠
Уравнения (6.79) представляют собой систему алгебраических уравнений
относительно
i1св ,
i2св ,
i3св
и в отличие от исходной системы (6.78) не содержат
производных и интегралов.
Переход от системы линейных дифференциальных уравнений к системе уравнений алгебраических называется алгебраизацией системы дифференциальных уравнений для свободных токов. Система уравнений (6.79), таким образом, есть результат алгебраизации системы дифференциальных уравнений (6.78).
Правила перехода от исходной системы дифференциальных уравнений к алгебраизованной систематизированы в таблице 6.2.
Таблица 6.2 – Правила алгебраизации системы дифференциальных уравнений
| Величина, подвергающаяся алгебраизации | Исходная математическая форма | Алгебраизованная математическая форма |
| u Rсв — напряжение на сопротивлении | Ri св | Ri св |
| u Lсв — напряжение на индуктивности | L di св dt | ( pL)i св |
| u Cсв — напряжение на ёмкости | C òi dt
1
св
| ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟i ⎝ pC ⎠ св |
Число алгебраических уравнений в системе равно числу неизвестных свободных
токов. Предположим, что p уже определено и решим систему (6.79) относительно
i1св ,
i2св , i3св
методом Крамера:
i1св
= Ä1 ,
Ä
i2св
= Ä2 ,
Ä
i3св
= Ä3 , (6.80)
Ä
где — главный определитель системы уравнений (6.79),
Ä1 , Ä2
и Ä3 —
определители, получаемые из путем замены в нем соответственно 1-го, 2-го и 3-го столбцов правой частью уравнений (6.79). В данном случае
1 -1
Ä = R1 R2
-1
0 , (6.81)
0 - R2 R3 + pL3 +
а каждый из определителей
Ä1 , Ä2
и Ä3
равен нулю:
Ä1 = 0 ,
Ä2 = 0 ,
Ä3 = 0 , (6.82)
так как все они содержат нулевой столбец, образованный правой частью уравнений (6.79), которая также состоит из одних нулей.
Из физических соображений ясно, что каждый из свободных токов не может быть равен нулю, так как при этом нарушаются законы коммутации, однако из (6.80) и (6.82) следует, что
i1св
= 0 ,
Ä
i2св
= 0 ,
Ä
i3св
= 0 ,
Ä
значит, свободные токи могут быть не равны нулю только в том случае, когда
Ä = 0 .
Таким образом, определитель алгебраизованной системы уравнений должен
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 181; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!