Лекция 6. Переходные процессы в линейных электрических цепях и методы их анализа 7 страница

                      

или в матричной форме:

dt   L1

 

⎡- 1

 

C 3         1

1         1

1  ⎤        ⎡ 0 1 ⎤

 

⎡u C¢ 3 ⎤ = ⎢ C R

C ⎥⎡u C  3 ⎤ + ⎢

C ⎥⎡E⎤

.                        (6.97)

⎢ ⎥ ⎢ 3 2

3 ⎥⎢ ⎥ ⎢

3 ⎥⎢ ⎥

⎣  i1¢  ⎦

⎢ - 1

⎢⎣                         L1

- R1 ⎥⎣ i1 ⎦

L1 ⎥⎦

⎢ 1

⎢⎣ L1

0 ⎥⎣ J ⎦

⎥⎦

Если положить, что

-

⎡ 1    1  ⎤

⎢ C R C ⎥

 

⎡u C  3 ⎤

⎡   1 ⎤

 

⎢   C ⎥

 

⎡E⎤

0

A = ⎢ 3 2

3 ⎥ ,

X = ⎢ ⎥ , B = ⎢

3 ⎥ ,

V = ⎢ ⎥ ,

⎢ - 1

⎢⎣                         L1

- R1 ⎥

L1 ⎥⎦

⎣ i1 ⎦

⎢ 1 0 ⎥

⎢⎣  L1                   ⎥⎦

⎣ J ⎦

то матричное уравнение (6.97) представляет уравнение состояния   (6.89)        для

определения переменных

u C 3

и i1 . Матричное уравнение вида (6.93), т.е. уравнение для

определения выходных величин i2

⎡

и i3

1

 

следует из соотношений (6.94) и (6.96):

0⎤

⎡i2 ⎤ = ⎢ R

⎥⎡u C  3 ⎤ + ⎡0

0⎤⎡E⎤

.

⎢  ⎥ ⎢ 2

⎥⎢ ⎥ ⎢

⎥⎢ ⎥

⎣i3 ⎦

 

Здесь следует положить

 

⎡i2 ⎤

⎢- 1

⎣⎢               R2

1⎥⎣ i1 ⎦ ⎣0

⎥⎦

0

⎡  1   ⎤

 

⎢  R    ⎥

1⎦⎣ J ⎦

 

 

⎡0 0⎤

Y = ⎢ ⎥ ,

C = ⎢ 2       ⎥ , D = ⎢   ⎥ .

⎣i3 ⎦

 

Вектор начальных значений

⎢- 1 1⎥

⎣⎢               R2     ⎥⎦

⎣0 1⎦

1

2

C 3

X [0] = [u

(0) i (0)]T

= [JR

0]T .

 

6.11.2 Решение уравнений переменных состояния

Уравнения переменных состояния могут быть решены аналитически или с помощью численных методов. Аналитическое решение для сложных линейных цепей сопряжено с большими трудностями, а для нелинейных в большинстве случаев невозможно. Таким образом, метод переменных состояния — один из методов анализа переходных процессов, ориентированный прежде всего на применение ЭВМ. Рассмотрим далее аналитическое решение матричного уравнения состояния (6.89).

Если в послекоммутационной схеме цепи источники тока и ЭДС отсутствуют, т.е.

V = 0 , то уравнение (6.89) упростится:

X ¢ - AX = 0 .                                                                  (6.98)

Уравнение (6.98) характеризует свободные процессы в цепи. Его решение очевидно и

записывается в виде

X (t ) = e At X (0),                                                              (6.99)

где e At — матричная экспоненциальная функция.

Если в послекоммутационной схеме имеются источники тока и ЭДС, т.е. V ¹ 0 ,

то решение уравнения (6.89) представляют равенством

 

в котором

Q (t )

X (t ) = e At Q (t ),                                      (6.100)

— некоторая неизвестная матричная функция цепи. Получим

математическое выражение для этой функции, для чего                             продифференцируем решение (6.100):

d X (t ) = Ae At Q (t )+ e At

dt

d Q (t ).                          (6.101)

dt

Сравнение соотношений (6.100) и (6.101) с уравнением (6.89) приводит к следующему равенству:

e At

d Q (t ) = BV (t ).

dt

Умножим это равенство на e- At , тогда

d Q (t ) = e- At BV (t ).                                                                 (6.102)

dt

Проинтегрировав обе части уравнения (6.102), найдем, что

t

Q (t ) = òe- At BV (t )d t ,                                                                                       (6.103)

-¥

где — переменная интегрирования.

Представим соотношение (6.103) в виде

0                                     t

Q (t ) = òe- At BV (t )d t +òe- At BV (t )d t

-¥                                   0

и подставим его в общее решение (6.100) уравнения состояния:

0                                             t

X (t ) = e At òe- At BV (t )d t + e Atòe- At BV (t )d t ,                                                                                                             (6.104)

-¥                               0

в частности, при t = 0

0

X (0) = òe- At BV (t )d t .

-¥

Следовательно, равенство (6.104) для переменных состояния можно представить в следующей форме:

t

X (t ) = e At X (0)+òe A(t -t )BV (t )d t .                                                                                                 (6.105)

0

Выражение (6.105)  дает  полное решение поставленной  задачи, т.е.                                                                позволяет

определить значения переменных состояния. Это решение, как видно, содержит два слагаемых. Первое слагаемое согласно (6.99) представляет собой реакцию вектора переменных состояния при отсутствии источников, а второе слагаемое — это реакция цепи при нулевых начальных условиях. В частном случае, когда V не зависит от времени, решение (6.105) уравнения состояния упрощается:

X (t ) = e At  X (0)+ (e At  -1)A -1 BV .                                                                                               (6.106)

Примечание – Основная трудность аналитического решения                                                уравнения

состояния заключается в определении матричной экспоненциальной функции

e At . Для

вычисления этой функции может быть использована формула Сильвестра, согласно которой

 

 

e At

 

n

å n

Õ(A - l i ×1)

=  i=1,i¹k

 

e ^l k t ,

 

k =1

Õ

i=1,i¹k

(l k

- l i )

где 1 — единичная матрица порядка n , l k — собственные значения матрицы A , т.е.

корни уравнения det(A - l ×1) = 0 или уравнения

a11 - l

a21

M

a n1

a12 a22 - l

M

a n2

a13 a23 M

a n3

K  a1n

K a2n

M    M

K a nn - l

 

= 0 ,

 

в котором

a ik

 

( i,k = 1,n ) — элементы матрицы A . Отметим, что собственные значения

l k матрицы A совпадают с корнями l k

характеристического уравнения (6.10).

 

6.12 Операторный метод расчета переходных процессов. Основные положения

Сущность операторного метода заключается в том, что функции f (t )

вещественной переменной t , называемой оригиналом, ставится в соответствие функция

F ( p) комплексной переменной p , называемая изображением (Лапласовым образом),

согласно функциональному соотношению

+¥

F ( p) = ò f (t )e- pt dt .                                                                                   (6.107)

0

Это соотношение определяет интегральное преобразование Лапласа и      кратко

обозначается так:  F (p)G f (t ) или  F ( p) = )[ f (t )].

Существует обратное преобразование Лапласа, позволяющее найти оригинал

f (t ) по его изображению

F (p):

 

f (t ) = lim

b ®¥

 

 

a +b j

òF ( p)e pt dp .                                         (6.108)

a -b j

Обратное преобразование кратко записывают так:

f (t ) = ) -1[F (p)].

В результате применения преобразования Лапласа (6.107) производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений, что, в свою очередь, определяет переход от системы интегро- дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находится изображение и далее путем обратного преобразования — оригинал.

 

6.13 Основные свойства преобразования Лапласа и изображение простейших функций

Основные свойства преобразования Лапласа представлены в таблице 6.3.

Таблица 6.3 – Основные свойства преобразований Лапласа

 

Название свойства	Математическое выражение
Линейность преобразования	n                          n åa k f k (t )Gåa k F k ( p), a k  = const k =1                      k =1
Дифференцирование оригинала	f ¢(t )G pF ( p)- f (0+ )
Интегрирование оригинала	t ò f (t )d t G F (  p) p 0
Дифференцирование изображения	F ¢( p)G - tf (t )
Интегрирование изображения	+¥ òF (p)dp G  f (t )   t p
Теорема подобия	f (at )G 1 F ⎛ p ⎞ a ⎜ a ⎟ ⎝ ⎠
Теорема запаздывания	f (t -t )G e- p t F ( p)
Теорема смещения	f (t )e-a t G F ( p + a )
Теорема свертки	t                                            t F1( p)F2 ( p)Gò f1(t ) f2 (t -t )d t =ò f1(t -t ) f2 (t )d t 0                                           0

В таблице 6.4 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов.

Таблица 6.4 – Лапласовы изображения простейших функций

 

Функция-оригинал	Функция-изображение
A d (t )	A

Продолжение таблицы 6.4

 

Функция-оригинал	Функция-изображение
A	A p
At	A p2
At n	An! p n+1
Ae-a t	A p + a
Ate-a t	A ( p + a )2
At n e-a t	An! ( p + a )n+1
Asin w t	A w p2 + w 2
Acos w t	Ap p2 + w 2
A sin(w t +y )	A( p siny + w cosy ) p2 + w 2
Acos(w t +y )	A( pcosy - w siny ) p2 + w 2
Ae-a t sin w t	A w ( p + a )2 + w 2
Ae-a t cos w t	A( p + a ) (p + a )2 + w 2

Более подробные таблицы соответствия оригиналов и изображений приведены в специальных справочниках.

---

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 183; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!