Лекция 6. Переходные процессы в линейных электрических цепях и методы их анализа 6 страница

равняться нулю. Уравнение

Ä(p) = 0

(6.83)

является характеристическим уравнением, полученным на основе алгебраизованной системы дифференциальных уравнений, и содержит единственную неизвестную величину p .

Покажем на примере рассматриваемой цепи, что алгебраическое уравнение (6.83) действительно является характеристическим, т.е. совпадает с уравнением (6.77), полученным непосредственно из однородного дифференциального уравнения (6.76). Вычисляя определитель системы согласно (6.81), получим

Ä( p) = L (R + R )p + (R R

+ R R

+ R R )+ 1 (R + R ),

3 1 2

1 2 2 3

pC3

1 3

откуда на основании (6.83) приходим к уравнению

L C (R + R )p2 + C (R R + R R + R R

)p + (R

+ R ) = 0 . (6.84)

3 3 1 2

3 1 2

2 3 1 3 1 2

Это уравнение при

p = l

идентично характеристическому уравнению (6.77).

6.10.2 Составление характеристического уравнения путем использования выражения для входного сопротивления цепи на переменном токе

Составление характеристического уравнения по методу входного сопротивления заключается в следующем:

1) записывается входное сопротивление цепи Z вх ( j w ) на переменном

синусоидальном токе;

2) произведение j w в выражении для Z вх ( j w ) заменяется на p ;

3) полученное выражение Уравнение

совпадает с характеристическим.

Z вх ( p) приравнивается к нулю.

Z вх ( p) = 0

(6.85)

Примечание – Входное сопротивление

Z вх ( j w )

может быть записано

относительно места разрыва любой ветви схемы. При этом активный двухполюсник заменяется пассивным по аналогии с методом эквивалентного генератора. Следует отметить, что данный способ составления характеристического уравнения предполагает отсутствие в схеме магнитосвязанных ветвей; при наличии таковых необходимо осуществить предварительное развязывание.

Для схемы цепи на рисунке 6.12 относительно зажимов источника

⎛

R2 ⎜ R3 +

j w L3 +

1 ⎞

j w C ⎟

Z ( j w ) = R

+ ⎝ 3 ⎠ .

вх 1 1

R2 + R3 +

j w L3 +

j w C3

Заменив запишем

j w на p и приравняв согласно (6.85) полученное выражение к нулю,

⎛ 1 ⎞

R2 ⎜ R3 + pL3 + pC ⎟

Z ( p) = R

+ ⎝ 3 ⎠ = 0

или

вх 1

R2 + R3

+ pL3 +

pC3

L C (R + R )p2 + C

(R R

+ R R + R R )p + (R + R ) = 0 . (6.86)

3 3 1 2

3 1 2

2 3 1 3 1 2

Алгебраическое уравнение (6.86) совпадает с уравнением (6.84) и при также идентично характеристическому уравнению (6.77).

p = l

6.11 Метод переменных состояния

Уравнениями состояния электрической цепи называют любую систему уравнений 1-го порядка, определяющую энергетический режим цепи. В более узком смысле уравнениями состояния называют систему дифференциальных уравнений 1-го порядка, разрешенную относительно производных, т.е. систему уравнений, представленную в нормальной форме, или форме Коши.

Метод анализа переходных процессов, основанный на составлении и решении системы дифференциальных уравнений 1-го порядка, называется методом переменных состояния. Искомыми величинами в уравнениях этого метода являются функции,

характеризующие энергетический режим цепи. Известно, что в линейных электрических цепях указанный режим полностью определяется токами в индуктивностях и

напряжениями на ёмкостях, поэтому функции i L (t ) и u C (t ) в рассматриваемом методе

являются искомыми величинами и называются переменными состояния электрической цепи.

Примечание – Переменные состояния образуют систему из наименьшего числа величин, полностью определяющих реакцию всех ветвей цепи при заданных начальных

условия и приложенных при t ³ 0 внешних воздействиях (источниках электрической

энергии). Общее число уравнений 1-го порядка, записанных в нормальной форме, т.е. число переменных состояния, очевидно, совпадает с порядком n дифференциального уравнения цепи.

6.11.1 Уравнения переменных состояния

Обозначим переменные состояния буквами

x1 ,

x2 , K ,

x n , тогда

дифференциальные уравнения относительно этих переменных в нормальной форме запишутся так:

dx1

= x¢ = a

x + a

x +K+ a

x + f (t );

dt 1

11 1

12 2

1n n 1

dx2 dt

= x2¢ = a21x1

+ a22 x2

+K+ a2n x n +

f2 (t ); (6.87)

……………………………………………..

dx n dt

= x n¢

= a n1x1

+ a n 2 x2

+K+ a nn x n +

f n (t ),

где

a ij

( i, j = 1,n ) — элементы квадратной

n ´ n – матрицы, определяемые

геометрической структурой цепи и параметрами ее элементов,

f i (t ) ( i = 1,n ) —

элементы вектора, также зависящие от структуры цепи и параметров действующих в ней источников электрической энергии.

В рамках классического метода анализа переходных процессов закон изменения

тока i(t ) в любой ветви или напряжения u(t ) между ее выводами определяют как

решение дифференциального уравнения n - го порядка (6.5), т.е. уравнения

d n x(t ) +

d n -1x(t ) +

+ dx(t ) +

( ) = ( )

a n dt n

a n-1

dt n -1

K a1 dt

a0 x t f t ,

где

x(t ) = i(t ) или

x(t ) = u(t ). Покажем, что описание переходных процессов в виде

одного дифференциального уравнения (6.5) и в виде системы дифференциальных уравнений в нормальной форме (6.87) эквивалентны.

Положим

( ) = ( )

( ) = dx(t ) ( ) = d 2 x(t )

( ) = d n-1x(t )

x1 t x t ,

x2 t dt , x3 t

dt 2

x n t dt n-1 .

Дифференциальное уравнение (6.5) тогда сводится к эквивалентной системе

дифференциальных уравнений 1-го порядка:

dx1(t ) = x

(t );

dx2 (t ) = x

(t ); K

; dx n-1(t ) = x

(t );

()

dt 2

dx t a

dt 3

a dt f (t )

(6.88)

n = - 0 x1(t )- 1 x2 (t )-K- n- 1 x n (t )+ ,

dt a n a n a n a n

математическое выражение которой аналогично (6.87).

Уравнения (6.88) можно записать в матричной форме:

⎡ x1¢(t ) ⎤ ⎡ 0 1

K 0

0 ⎤⎡

x1(t ) ⎤

⎡ 0 ⎤

⎢ x¢ (t ) ⎥ ⎢ 0

K 0

0 ⎥⎢ x

(t ) ⎥

⎢ 0 ⎥

⎢ 2 ⎥ ⎢

⎥⎢ 2

⎥ ⎢ ⎥

⎢ M ⎥ = ⎢ M

M M M M

M ⎥⎢ M

⎥ + ⎢ M

⎥ f (t )

⎢ ¢ ⎥ ⎢ 0

0 0 K 0

1 ⎥⎢

⎥ ⎢ 0 ⎥

⎢x n-1(t )⎥ ⎢ a a a

a a ⎥⎢x n-1(t )⎥

⎢ 1 ⎥

⎢⎣ x¢ (t ) ⎥⎦

⎢- 0 - 1

- 2 K

- n-2

- n-1 ⎥⎢ x

(t ) ⎥ ⎢ ⎥

или

n ⎢⎣ a n

a n a n

⎥⎦⎣ n

⎦ ⎢⎣ a n ⎥⎦

Здесь X и X ¢ —

X ¢ = AX + BV . (6.89)

n ´1 – матрицы соответственно переменных состояния и их

первых производных по времени ( n — число переменных состояния):

X = [x (t ) x (t ) K x (t )]T , X ¢ = [x¢(t ) x¢ (t ) K x¢ (t )]T , (6.90)

2 1 2

A — квадратная n ´ n – матрица, определяемая геометрической структурой цепи и

параметрами ее элементов, B — прямоугольная n ´ m – матрица связи между

источниками и переменными состояния ( m — число источников энергии), V — m ´1 – матрица внешних воздействий (ЭДС и токов источников), называемая также вектором входных величин.

Начальные условия для уравнения (6.89) задаются вектором начальных значений

X (0) = [x (0) x (0) K x (0)]T , (6.91)

где символ «T » обозначает операцию транспонирования матрицы.

Искомые токи и напряжения в цепи, называемые также выходными величинами,

могут быть выражены через переменные состояния. Представим произвольную

совокупность выходных величин y1 , y2 , K , y k в виде столбцевой k ´1 – матрицы

Y = [y (t ) y (t ) K y (t )]T . (6.92)

Связь выходных величин (6.92), переменных состояния (6.90) и входных величин может быть записана в матричной форме уравнением

Y = CX + DV , (6.93)

где C — прямоугольная k ´ n – матрица связи переменных состояния с

выходными (искомыми) величинами ( k — число этих величин), D — прямоугольная

k ´ m – матрица непосредственной связи входных и выходных величин.

Матричные уравнения (6.89) и (6.93), образующие совокупность системы

дифференциальных уравнений 1-го порядка относительно переменных состояния и системы уравнений для выходных величин, составляют полную систему уравнений для анализа переходных процессов в цепи методом переменных состояния. Эти уравнения называются уравнениями состояния.

В качестве примера составления уравнений состояния рассмотрим схему цепи на

рисунке 6.13, в которой требуется определить токи i2 и i3 .