Лекция 6. Переходные процессы в линейных электрических цепях и методы их анализа 9 страница

p = j w

операторное сопротивление

Z ( p),

определяемое формулой (6.125), переходит в комплексное сопротивление ветви

Z ( j w ) = R +

j w L -

1

j w C .

При этом между операторной формой закона Ома (6.127) в переходном режиме и его символическим (комплексным) представлением (3.33) в стационарном режиме синусоидального тока сохраняется формальная аналогия.

 

6.15.2 Первый закон Кирхгофа в операторной форме

По 1-му закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле электрической цепи, в любой момент времени равна нулю:

åi k  (t ) = 0 ,                                                                             (6.129)

k =1

где m — число ветвей, сходящихся в узле.

Пусть изображения каждого из токов i k (t ) по Лапласу имеет вид i k (t )G I k ( p),

тогда в силу линейности преобразования Лапласа из (6.129) получим

m

åI k  ( p) = 0 .                                                                              (6.130)

k =1

Соотношение (6.130) дает математическое выражение 1-го закона Кирхгофа в операторной форме.

Первый закон Кирхгофа в операторной форме: алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в электрической цепи, равна нулю.

Примечание – Математическое выражение 1-го закона Кирхгофа в операторной форме (6.130) аналогично 1-му комплексному закону Кирхгофа (3.30) при синусоидальном токе.

 

6.15.3 Второй закон Кирхгофа в операторной форме

По 2-му закону Кирхгофа в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма напряжений на пассивных элементах контура в любой момент времени равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в контуре:

n

åu k

k =1

=åe k  ,                                                    (6.131)

m

k =1

где n — число пассивных элементов контура, m — число действующих в нем ЭДС. Для  ветви,  содержащей резистивные индуктивные и ёмкостные элементы,

напряжение

di (t )        1 t

u k  (t ) = R k i k (t )+ L k

k   + u Ck (0)+

Dt             Ck

òi k  (t )dt .                      (6.132)

0

Полагая i k (t )G I k ( p), e(t )G E( p) и повторяя те же рассуждения, что и при выводе

операторных законов Ома (6.127), на основании (6.131) и (6.132) получим

n

å⎧ (  )    (  )     (  )

u Ck (0) 1

 

(  )⎫ å ( )

 

 

k =1

⎨R k I k

⎩

p - L k i L k 0

+ pL k I k p +

+ I k

P   pCk

p ⎬ =

m

⎭

E k p ,

k =1

откуда следует уравнение

⎛              1 ⎞        m ⎛

u (0)⎞

å⎜ R k + pL k +   ⎟I k ( p) =å⎜ E k ( p)+ L k i L k (0)-     Ck     ⎟

или

k =1 ⎝

pC k ⎠

 

n

k =1 ⎝                           p ⎠

m

k

где

åZ k k =1

( p)I k

( p) =

å

k =1

E *  ( p),                             (6.133)

Z k (p) = R k

+ pL k  +

1

pC k

(6.134)

— операторное сопротивление ветви контура с номером k ,

k

k

E * ( p) = E

— приведенная ЭДС в этой ветви.

( p)+ L k i Lk

(0)- u Ck (0)

p

 

(6.135)

Соотношение (6.133) дает математическое выражение 2-го закона Кирхгофа в операторной форме.

Второй закон Кирхгофа в операторной форме: в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма изображений напряжений на пассивных элементах контура равна алгебраической сумме изображений ЭДС, действующих в контуре.

Примечание – Математическое выражение 2-го закона Кирхгофа в операторной форме (6.133) аналогично комплексному 2-му закону Кирхгофа (3.32) при синусоидальном токе.

 

6.16 Последовательность расчета переходных процессов в цепи операторным методом

При анализе переходных процессов в линейных электрических цепях операторным методом необходимо придерживаться следующей последовательности действий:

1) для исходной (послекоммутационной) схемы цепи составить эквивалентную ей

операторную схему, что означает замену ЭДС и токов источников, т.е. функций e(t )  и

j( t ) , их Лапласовыми образами E( p) и J ( p), а параметров R , L и C пассивных

элементов — их операторными сопротивлениями Z R  ( p) = R , Z L  ( p) = pL          и

Z C ( p) = 1 ( pC ). Указанные преобразования следует производить согласно таблице 6.5.

Таблица 6.5 – Основные элементы цепи и операторные схемы замещения

 

Тип элемента	Элемент цепи	Исходная схема замещения	Операторная схема замещения
Активные элементы	Источник ЭДС
	Источник тока

Продолжение таблицы 6.5

 

Тип элемента	Элемент цепи	Исходная схема замещения	Операторная схема замещения
Пассивные элементы	Резистивный
	Индуктивный
	Ёмкостный

2) составить полную систему уравнений на основании 1-го и 2-го законов Кирхгофа в операторной форме;

3) найти решение системы уравнений относительно изображений         искомых

величин, например, токов I ( p);

4) для полученных изображений искомых величин выполнить      обратное

преобразование Лапласа и определить выражения для оригиналов, например, токов i(t )

как функций времени.

Примечание – Поскольку законы Кирхгофа в операторной форме аналогичны комплексным законам Кирхгофа, то при расчете переходных режимов цепи операторным методом можно использовать методы анализа электрических цепей синусоидального тока (метод контурных токов, метод узловых потенциалов и др.), преобразовав предварительно соответствующие формулы к операторной форме записи.

 

6.17 Обратная задача операторного метода. Теорема разложения и вспомогательные приемы вычисления оригинала

Пользуясь законами Кирхгофа в операторной форме или каким-либо из методов расчета цепей, являющихся следствиями законов Кирхгофа, всегда можно найти изображение искомой переменной. Возникает обратная задача операторного метода

— найти по известному изображению соответствующий ему оригинал.

Существует три основных метода определения оригинала:

1) посредством обратного преобразования Лапласа;

2) по таблице соответствия между оригиналами и изображениями;

3) по теореме разложения.

 

6.17.1 Определение оригинала на основании обратного преобразования Лапласа

Оригинал определяется как результат интегрального уравнения Лапласа:

+¥

ò f (t )e- pt dt = F ( p),                                                                                   (6.136)

0

где

F ( p)

— известная функция-изображение, f (t ) — неизвестная функция-оригинал,

подлежащая определению.

Решение интегрального уравнения (6.136) может быть найдено с помощью методов теории функций комплексного переменного. Переход от изображения к оригиналу тогда осуществляет интеграл вида (6.108):

a +b j

f (t ) = lim

b ®¥

òF ( p)e pt dp .

a -b j

Вычисление по формуле (6.108) требует применения методов теории вычетов, причем во многих случаях это вычисление оказывается весьма сложным. Поэтому на практике данный способ определения оригинала применяется редко.

 

6.17.2 Определение оригинала по таблице соответствия между функциями- оригиналами и функциями-изображениями

В специальной литературе имеется достаточно большое число таблиц с формулами соответствия между оригиналами и изображениями, охватывающих практически все задачи электротехники (в данном пособии, к примеру, такой таблицей является таблица 6.4). На основании этих таблиц необходимо получить изображение искомой величины в виде соответствующем табличному, после чего определить из таблицы выражение оригинала.

Получим, например, с помощью операторного метода закон изменения тока в

R , L – цепи (индуктивной катушке) при подключении ее к источнику постоянной ЭДС

E = const (рисунок 6.18, а).

а)                                                                            б)

Рисунок 6.18 – Исходная (а) и операторная (б) схемы замещения цепи с индуктивной катушкой при подключении к источнику постоянного напряжения

Следуя общему алгоритму операторного метода, изложенному в разделе 6.16, для данной схемы (в соответствии с таблицей 6.5) получим операторную схему замещения

(рисунок 6.18, б), изображение тока закона Ома:

I ( p)

 

(  )

в которой можно рассчитать на основании

 

E * ( p)

I p =

Z ( p) ^,

L

где  приведенная  ЭДС E *  ( p) = E( p)+ Li (0) = E( p), так  как  в  цепи  реализованы

нулевые начальные условия и, следовательно, i L (0) = 0 . Выражение для внешней ЭДС

E( p) следует из таблицы 6.3: E( p) = E p . Операторное сопротивление

Z ( p) = R + pL .

В результате, для изображения тока I ( p) получается соотношение

I ( p) =

E  =

(    )

p R + pL

E ⎛ 1 -

⎜

R ⎝ p

1 ⎞

⎠

p + R L ⎟ .

Тогда в соответствии с таблицей 6.3 сила тока в цепи, т.е. искомая функция-оригинал

E

⎛

i = ⎜1 - e R ⎝

- t  ⎞

t ⎟ ,

⎠

t = L ,

R

что соответствует известному результату (6.18), полученному в рамках классического метода анализа переходных процессов (см. раздел 6.7.1).

 

6.17.3 Определение оригинала по теореме разложения. Вспомогательные приемы вычисления оригинала

Во многих случаях, относящихся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, т.е. практически во всех случаях анализа

переходных процессов в линейных цепях изображение F ( p) имеет вид  рациональной

дроби. Определение оригинала  f (t ) тогда может быть произведено согласно теореме

(или формуле) разложения.

Теорема разложения: если изображение имеет вид рациональной дроби

( ) = A ( p) = a p m  + a p m-1 +K+ a p + a

         

F  p    ( )

m            m-1

n

 

n-1

1        0 ,

B n p  b n p + b n-1 p

+K+ b1 p + b0

причем  степень  многочлена A m  ( p) меньше степени многочлена

B n  ( p)

( m < n ),

коэффициенты a k и b k — вещественные числа, а корни

p k уравнения

B n ( p) = 0

n

различны, то оригинал определятся выражением

f

t

=

( ) å

 A ( p )

 

m

k

e p k t .                                                    (6.137)

k =1

---

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 236; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!