Лекция 6. Переходные процессы в линейных электрических цепях и методы их анализа 12 страница
Примечание – Все шесть форм записи интеграла Дюамеля в теоретическом отношении равноценны. Ту или иную форму записи выбирают только из соображений
простоты вычислений. Например, если u(0) = 0 , то удобнее первая (6.158) и вторая
(6.160) формы записи, так как первое слагаемое в этих формах записи обращается в
нуль. Если h(0) = 0 , то целесообразнее использовать третью (6.161) и четвертую (6.162)
формы записи. Если h(t ) выражается через экспоненциальную функцию, то также
следует предпочесть выражения (6.161) и (6.162), так как экспоненциальные функции просто дифференцируются.
6.22 Определение реакции цепи на воздействие произвольной формы. Формула интеграла наложения
При выводе формулы интеграла Дюамеля временная характеристика цепи была представлена ее переходной характеристикой. Рассмотрим теперь применение принципа наложения с использованием импульсной характеристики цепи.
Пусть требуется определить ток i(t ) в линейном пассивном двухполюснике,
импульсная характеристика g(t ) которого известна, при включении двухполюсника на
напряжение u(t ), т.е. внешнее воздействие f (t ) на цепь представлено напряжением, а
реакция (отклик) цепи на это воздействие — силой тока: напряжения u(t ) изображена на рисунке 6.26.
f (t ) = u(t ),
x(t ) = i(t ). Кривая
Рисунок 6.26– Кривая напряжения на входе пассивного двухполюсника и ее представление совокупностью прямоугольных импульсов
Для получения формулы интеграла наложения заданное непрерывно
|
|
|
изменяющееся напряжении u(t ) представим последовательностью узких
прямоугольных импульсов высотой u(t ) и длительностью d t (рисунок 6.26). Через
вновь обозначено текущее время, изменяющееся в пределах 0 £ t £ t , а буквой t
обозначим время, прошедшее от начала отсчета до момента наблюдения.
Импульсная характеристика цепи g(t ) — это реакция цепи на дельта-функцию
d (t ) в момент времени t = 0 . При смещении дельта-функции относительно нуля во
времени смещена и реакция, т.е. откликом на d (t -t ) будет g(t -t ). Тогда каждый
отдельный элементарный импульс напряжения с площадью ответную реакцию цепи в виде составляющей тока:
di(t ) = u(t )g(t -t )d t ,
u(t )d (t -t )d t
вызовет
где
g(t -t )
— значение импульсной характеристики в момент наблюдения t при
воздействии импульса на цепь в момент .
На основании принципа наложения, суммируя бесконечно малые составляющие
di(t ), вызванные последовательностью бесконечно малых по площади прямоугольных
импульсов напряжения, к моменту наблюдения t , получим
t
i(t ) =òu(t )g(t -t )d t . (6.164)
|
|
|
0
Интеграл в равенстве (6.164) есть свертка функций u(t ) и g(t ), которая
осуществляет суммирование (наложение) реакций тока в цепи воздействия импульсов напряжения u(t )d (t -t )d t .
u(t )g(t -t )d t от
Согласно свойству коммутативности свертки (6.159) выражении (6.164) можно записать так:
t
i(t ) =òu(t -t )g(t )d t . (6.165)
0
Уравнения (6.164), (6.165) называют формулами интегралов наложения или просто интегралами наложения. Эти интегралы аналогичны интегралам Дюамеля.
Отличие заключается лишь в использовании импульсной характеристики g(t ) взамен
переходной характеристики h(t ). Поэтому если в (6.164) или (6.165) подставить взамен
импульсной характеристики переходную, используя найденную в разделе 6.20.2 связь между ними, то получим интеграл Дюамеля.
Действительно, согласно (6.155) g(t ) = h¢(t )+ h(0)d (t ), что после подстановки в
уравнение (6.165) даст
t t t
i(t ) =òu(t -t )g(t )d t =òu(t -t )h¢(t )d t + h(0)òu(t -t )d (t )d t .
0 0 0
Второй интеграл в полученном равенстве на основании фильтрующего свойства (6.148) импульсной функции равен u(t )h(0).
|
|
|
В результате имеем
t
i(t ) = u(t )h(0)+ òu(t -t )h¢(t )d t ,
0
т.е. четвертую форму записи интеграла Дюамеля.
6.23 Последовательность расчета переходных процессов в цепи методом интеграла Дюамеля
При анализе переходных процессов в линейных электрических цепях методом интеграла Дюамеля необходимо придерживаться следующей последовательности действий (на примере 1-й формы интеграла):
1) определить для исследуемой цепи ее переходную характеристику h(t ) как
реакцию цепи на единичную функцию воздействия 1(t ) при нулевых начальных условиях;
2) записать выражения h(t -t ) путем формальной замены t на (t -t );
3) определить производную входного воздействия, например, производную напряжения u¢(t );
4) подставить найденные функции в формулу интеграла Дюамеля (6.158) и произвести расчет тока или напряжения на выходе цепи в соответствии с этой формулой.
Примечание – Последовательность расчета переходных процессов в цепи на основании интегралов наложения аналогична методу интеграла Дюамеля, следовательно, зная переходную или импульсную характеристики и задавшись
|
|
|
напряжением или током на входе цепи, можно рассчитать реакции цепи на ее выходе.
Нахождение реакции цепи по импульсной характеристике g(t ) с помощью интегралов
наложения проще, чем по ее переходной характеристике h(t ). Однако чаще всего
функцию g(t ) определяют на основании функции h(t ) в соответствии с
формулой (6.155). В этом случае никаких преимуществ нахождения реакции цепи по
импульсной характеристике нет.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 150; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!