Лекция 9. Нелинейные электрические цепи переменного тока
9.1 Основные особенности нелинейных цепей при переменных токах
При переменном токе переменными во времени являются потокосцепления и заряды, поэтому индуцируемые в цепи ЭДС и токи в конденсаторах (в отличие от цепи постоянного тока) не равны нулю. По этой причине распределение токов и напряжений в схемах определяется нелинейными сопротивлениями, индуктивностями и ёмкостями.
Основными характеристиками нелинейных резисторов, индуктивных катушек и
конденсаторов, как отмечалось, являются функции i = i(u), Y =Y (i) и q = q(u), т.е.
вольт-амперная, вебер-амперная и кулон-вольтная характеристики.
Наиболее существенная особенность анализа нелинейных цепей при переменных токах заключается в необходимости учета в общем случае динамических
характеристик i = i(u), Y =Y (i) и q = q(u).
Если нелинейный элемент является безынерционным, то его характеристики в динамическом и статическом режимах совпадают, что существенно упрощает анализ. Однако на практике идеально безынерционных элементов не существует. Отнесение элемента к классу безынерционных определяется скоростью изменения входных воздействий. Так, если период T переменного воздействия достаточно мал по сравнению с постоянной времени , характеризующей динамические свойства
нелинейного элемента (T << t ), то этот элемент рассматривается как безынерционный.
|
|
|
Если же условие T << t не выполняется, то необходимо учитывать инерционные
свойства нелинейного элемента.
9.2 Нелинейные характеристики и параметры катушки с магнитопроводом
Важнейшим элементом в цепях переменного тока является катушка с ферромагнитным сердечником (с магнитопроводом).
Вебер-амперная характеристика Y =Y (i) катушки, выражающая зависимость
потокосцепления Y от тока i в катушке, является линейной (рисунок 9.1, а), если магнитная проницаемость среды, в которой замыкается магнитный поток, не зависит
от напряженности магнитного поля:
= const .
а) б)
Рисунок 9.1 – Вебер-амперная характеристика линейной (а) и нелинейной (б) катушек индуктивности
Связь между потокосцеплением Y и током i в таком случае оказывается прямопропорциональной с коэффициентом пропорциональности равным индуктивности линейной катушки:
L = dY = Y
di i
= const . (9.1)
Магнитная проницаемость ферромагнитных материалов зависит от
|
|
|
напряженности магнитного поля: m = m(H ). Соответственно характеристика Y =Y (i)
катушки с магнитопроводом оказывается нелинейной (рисунок 9.1, б):
L(i) = dY
di
¹ const . (9.2)
Уравнение (9.2) означает, что индуктивность катушки с магнитопроводом непостоянна и зависит от величины и формы тока в цепи. Такая катушка называется нелинейной индуктивной катушкой. Ток и напряжение в ней связаны нелинейным уравнением
u = dY
= dY di = L(i) di . (9.3)
dt di dt dt
Нелинейность уравнения (9.3) указывает на то, что при синусоидальном напряжении на зажимах нелинейной катушки ток в ней будет несинусоидальным. Это также означает, что для расчетов цепей с нелинейными индуктивностями недопустимо использовать векторные диаграммы и комплексные величины так, как это делалось при синусоидальных процессах.
Примечание – Нелинейная индуктивность (как и нелинейное сопротивление) характеризуется совокупностью статических, дифференциальных и динамических характеристик. В применении к индуктивной катушке они называются соответственно
статическая индуктивность
L ст , дифференциальная индуктивность
|
|
|
L д , динамическая
индуктивность
L дин
и определяются равенствами:
Y
L ст = I ,
L = dY ,
д dI
L дин
= dY
di
. (9.4)
Динамическая индуктивность катушек
L дин
получается при достаточно быстрых
изменениях тока и определяется из динамических вебер-амперных характеристик. При достаточно медленном изменении тока и потока динамические характеристики
повторяют статические. Определяемую из статических характеристик индуктивность L д
в виде производной d Y dI называют дифференциальной индуктивностью, а
индуктивность
L ст
при фиксированных значениях тока и потока — статической
индуктивностью.
9.3 Вольт-амперная характеристика и индуктивное сопротивление нелинейной катушки при синусоидальном напряжении
Рассмотрим нелинейную индуктивную катушку (катушку с магнитопроводом) в цепи синусоидального тока, считая выполненными два следующих условия:
1) магнитное поле вне магнитопровода (поле рассеяния) пренебрежимо мало в сравнении с полем магнитопровода;
2) активное сопротивление катушки пренебрежимо мало.
Выполнение первого условия позволяет исключить из уравнения электрического состояния нелинейной катушки ЭДС, создаваемую потоком рассеяния; выполнение второго условия позволяет пренебречь падением напряжения в активном сопротивлении катушки.
|
|
|
В таком случае переменное напряжение на катушке оказывается уравновешенным только величиной ЭДС e , т.е.
u = -e , (9.5)
где значение ЭДС определяется из закона электромагнитной индукции:
e = - dY
dt
= -w dF . (9.6)
dt
Здесь w — число витков катушки, F — магнитный поток.
Магнитная цепь, электрическое состояние которой описывается уравнениями (9.5), (9.6), называется идеализированной.
Из формул (9.5) и (9.6) следует, что закон изменения магнитного потока F в катушке полностью определяется напряжением на ней:
|
w
где A — постоянная интегрирования (при отсутствии постоянного магнитного потока
A = 0 ).
Если приложенное к катушке напряжение синусоидально, т.е.
u = U m sin w t , (9.8)
то из (9.7) и (9.8) следует, что магнитный поток F также будет синусоидальным:
F (t ) = - U m
w w
cos w t . (9.9)
Учитывая связь магнитного потока с магнитной индукцией, т.е. формулу F = BS ,
приходим к выводу, что магнитная индукция в магнитопроводе катушки при
синусоидальном напряжении (9.8) будет изменяться также по гармоническому закону:
B(t ) = F (t ) = -
S
Амплитуда магнитной индукции
U m
w w S
cos w t . (9.10)
B m =
U m
w w S
, (9.11)
где S — поперечное сечение магнитопровода.
Построим на основании (9.10) кривую изменения тока
i(t )
в катушке,
воспользовавшись кривой намагничивания, изображенной на рисунке 9.2, а, и соотношением
i(t ) = H (t )l , (9.12)
w
являющимся следствием из 2-го закона Кирхгофа для магнитных цепей (см.
раздел 8.5.2)
 |
а) б)
Рисунок 9.2 – Кривая намагничивания (а) и построенная с ее помощью кривая тока (б)
при синусоидальном напряжении в катушке с магнитопроводом
Указанное построение демонстрирует рисунок 9.2, б. Из этого рисунка видно, что
с увеличением амплитуды магнитной индукции B m
форма кривой тока все больше
отличается от синусоиды и ток резко возрастает при насыщении материала магнитопровода.
Зависимость максимального значения тока I m от амплитуды синусоидального
напряжения U m на катушке, т.е. функция I m = I m (U m ), называется вольт-амперной
характеристикой по амплитудным значениям (рисунок 9.3, а). Обычную зависимость
I = I (U ) называют вольт-амперной характеристикой (рисунок 9.3, б).
 |  |  |
а) б) в)
Рисунок 9.3 – Вольт-амперная характеристика нелинейной катушки для амплитудных (а) и действующих (б) значений и кривая зависимости реактивного сопротивления от величины напряжения (в)
Анализ цепей, содержащих индуктивные катушки с магнитопроводом, можно существенно упростить, заменив реальный несинусоидальный ток эквивалентным синусоидальным током с равным действующим значением. Расчетный метод, реализующий подобную замену, называется методом эквивалентных синусоид.
Уравнение (9.5) в рамках метода эквивалентных синусоид можно записать в комплексной форме:
или
U& = -E&
U& = -E& = jXI& , (9.13)
где X — эквивалентное индуктивное сопротивление катушки при эквивалентном синусоидальном токе. Величина этого сопротивления определяется согласно (9.13) равенством
X = U . (9.14)
I
Из рисунка 9.3, б следует, что ВАХ катушки с магнитопроводом нелинейна; ток I растет быстрее напряжения U и сопротивление X , следовательно, монотонно уменьшается по мере роста U (рисунок 9.3, в).
9.4 Полное уравнение электрического состояния, векторная диаграмма и схема замещения катушки с магнитопроводом при синусоидальном напряжении
Рассмотрим процессы в индуктивной катушке с замкнутым сердечником
(магнитопроводом), обмотка которой имеет w витков (рисунок 9.4).
Рисунок 9.4 – Схема индуктивной катушки с магнитопроводом
Уравнение, описывающее процессы в катушке, имеет вид
u = Ri + dY
dt
, (9.15)
где R — активное сопротивление обмотки. Полное потокосцепление Y представим в виде
Y =Y0 +Y s . (9.16)
Величина Y0
есть потокосцепление, определяемое линиями магнитной индукции,
замыкающимися целиком вдоль сердечника. Следовательно,
Y0 = w F0 , (9.17)
где F0 — поток сквозь сечение сердечника, определяемый этими линиями.
Величина Y s есть потокосцепление, определяемое линиями магнитной индукции,
замыкающимися частично или полностью в воздухе (потокосцепление рассеяния):
Y s = w F s = L s i , (9.18)
где F s — поток рассеяния, L s — индуктивность рассеяния.
Как следует из (9.18), потокосцепление Y s
пропорционально току i , так как
магнитное сопротивление пути, по которому замыкаются линии потока, практически не
зависит от тока и, следовательно, индуктивность L s постоянна.
Потокосцепление Y0 нелинейно связано с током i , так как магнитная
проницаемость и, следовательно, магнитное сопротивление сердечника зависят от напряженности магнитного поля.
Уравнение катушки теперь можно переписать в виде
u = Ri + L
di + w d F0
или, обозначив напряжение
s dt dt
u = w d F0 , (9.19)
0 dt
u = Ri + L s
di + u dt 0
. (9.20)
Уравнение (9.20) нелинейное. Поэтому, даже если приложенное напряжение u синусоидально, ток i будет несинусоидальным. Заменяя несинусоидальные кривые тока и потока эквивалентными синусоидами, можем записать уравнение (9.20) в комплексной форме для комплексов величин:
U& = R I& + jX s I& + U& 0 , (9.21)
где
X s = w L s
— реактивное сопротивление рассеяния.
Изменение магнитного поля в индуктивной катушке вызывает нагрев магнитопровода из-за гистерезиса и вихревых токов. Следовательно, в магнитопроводе возникают потери энергии, которые называют магнитными потерями. Величину
магнитных потерь принято оценивать некоторой мощностью Ä P0 (мощностью потерь).
Таким образом, в схему замещения катушки с магнитопроводом необходимо добавить
резистивный элемент R0 так, чтобы мощность потерь в этом элементе была бы равна
мощности магнитных потерь
откуда находим
Ä P0 , т.е.
Ä P0
2
|
R0
U 2
|
P0
. (9.22)
Ток I& в уравнении (9.21) можно разложить на две составляющие: реактивную
составляющую
I&р , находящуюся в фазе с потоком F&0 , и активную составляющую
I&а ,
находящуюся с потоком F&0
где
в квадратуре:
I& = I&а + I&р = U&0 (g0 -
jb0 ), (9.23)
|
= Ä P0 ,
b = I р
. (9.24)
|
|
|
|
Схема замещения индуктивной катушки, соответствующая уравнениям (9.21), (9.23), (9.24), приведена на рисунке 9.5, а; векторная диаграмма токов и напряжений — на рисунке 9.5, б.
 |  |
а) б)
Рисунок 9.5 – Схема замещения (а) и векторная диаграмма токов и напряжений (б) индуктивной катушки с магнитопроводом при синусоидальном напряжении
Из векторной диаграммы рисунка 9.5, б следует, что эквивалентная синусоида
тока i отстает от эквивалентной синусоиды напряжения u0 = d Y0 dt на угол j0 < p 2
вследствие возникновения потерь Ä P0 в сердечнике. На диаграмме также изображен
вектор ЭДС
E&0 , индуцируемой в обмотке потоком F0 , и равной e0 = - wd F0
dt .
9.5 Феррорезонансные явления в нелинейных цепях переменного тока
В электрических цепях, содержащих катушки с ферромагнитными сердечниками и конденсаторы, наблюдаются особые явления, связанные с нелинейными свойствами этих цепей, и называемые феррорезонансными явлениями или феррорезонансами.
Различают феррорезонанс в последовательной цепи (феррорезонанс напряжений)
и феррорезонанс в параллельной цепи (феррорезонанс токов).
9.5.1 Явление феррорезонанса при последовательном соединении катушки с ферромагнитным сердечником и конденсатора
Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательного соединения индуктивной катушки с ферромагнитным сердечником и конденсатора с ёмкостью C (рисунок 9.6, а).
 |  |
а) б)
Рисунок 9.6 – Последовательная цепь с нелинейной индуктивной катушкой и конденсатором (а)
и соответствующие вольт-амперные характеристики (б)
Предположим, что в цепи отсутствуют потери, и заменим несинусоидальные кривые тока и напряжения эквивалентными синусоидами, выбрав их равными первым гармоникам действительных кривых, иными словами, пренебрежем наличием высших гармоник.
В таком случае напряжение U L на зажимах катушки и напряжение U C на
зажимах конденсатора по фазе прямо противоположны друг другу, а напряжение U на
зажимах цепи равно абсолютному значению их разности: U = U L - U C .
Представляя напряжения U L и U C в виде функций тока I , причем U L = U L (I )
изобразится нелинейной вольт-амперной характеристикой катушки, а U C = (1 w C )I —
прямой, проходящей через начало координат, получим
U (I ) = U
(I )- 1
I . (9.25)
L w C
Зависимость
U = U (I ), определяемая из (9.25), является нелинейной ВАХ всей
цепи. Графики этих зависимостей приведены на рисунке 9.6, б.
Точка пересечения кривой U L (I ) с прямой U C (I ) (точка « a ») соответствует
резонансу напряжений. Из приведенных на рисунке 9.6, б графиков следует, что в отличие от цепей с постоянными параметрами, резонанса напряжений в рассматриваемой последовательной цепи можно достичь изменением значений приложенного напряжения. Это объясняется тем, что индуктивность катушки с ферромагнитным сердечником зависит от значения тока и, следовательно, изменяется при изменении напряжения источника.
Режим работы цепи, содержащей последовательно соединенные нелинейную катушку индуктивности и конденсатор, при котором первая гармоника тока совпадает по фазе с синусоидальным напряжением источника, называется феррорезонансом напряжений.
Из построенной результирующей ВАХ U = U (I ) видно, что при увеличении
напряжения источника U в цепи имеет место скачок тока из точки «1» в точку «3». Аналогично при уменьшении напряжения наблюдается скачок тока из точки «2» в точку «0».
Явление скачкообразного изменения тока при плавном изменении входного напряжения называется триггерным эффектом в последовательной феррорезонансной цепи.
9.5.2 Явление феррорезонанса при параллельном соединении катушки с ферромагнитным сердечником и конденсатора
Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из параллельного соединения индуктивной катушки с ферромагнитным сердечником и конденсатора с ёмкостью C (рисунок 9.7, а).
 |  |
а) б)
Рисунок 9.7 – Параллельная цепь с нелинейной индуктивной катушкой и конденсатором (а)
и соответствующие вольт-амперные характеристики (б)
Как и в предыдущем случае, пренебрежем потерями в цепи и наличием высших
гармоник. Тогда ток I L
в индуктивной катушке и ток I C
в конденсаторе по фазе будут
противоположны друг другу, а ток I в неразветвленной части цепи будет равен
абсолютному значению их разности: I =
I L - I C .
Представляя токи I L и I C как функции напряжения U на зажимах цепи, причем
I L = I L (U ) изобразится нелинейной вольт-амперной характеристикой катушки, а
I C = (w C )U — прямой, проходящей через начало координат, получим
I (U ) = I L (U )- w CU . (9.26)
Зависимость
I = I (U ), определяемая из (9.26), является нелинейной ВАХ всей
цепи. Графики этих зависимостей приведены на рисунке 9.7, б.
Точка пересечения кривой I L (U ) с прямой I C (U ) (точка « a ») соответствует
резонансу токов. Из приведенных на рисунке 9.7, б графиков следует, что в отличие от цепей с постоянными параметрами, резонанса токов в рассматриваемой параллельной цепи можно достичь изменением значений приложенного напряжения. Как и в случае последовательного соединения, это объясняется тем, что индуктивность катушки с ферромагнитным сердечником зависит от значения тока и, следовательно, изменяется при изменении напряжения источника.
Режим работы цепи, содержащей параллельно соединенные нелинейную катушку индуктивности и конденсатор, при котором первая гармоника тока в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с синусоидальным напряжением источника, называется феррорезонансом токов.
Из построенной результирующей ВАХ I = I (U ) видно, что при увеличении тока
I в неразветвленной части цепи имеет место скачок напряжения из точки «1» в точку
«3». Аналогично при уменьшении тока наблюдается скачок напряжения из точки «2» в точку «0».
Явление скачкообразного изменения напряжения при плавном изменении входного тока называется триггерным эффектом в параллельной феррорезонансной цепи.
тока
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 389; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!