Лекция 10. Цепи с распределенными параметрами

10.1 Понятие о цепях с распределенными параметрами

В предыдущих лекциях рассматривались электрические цепи с сосредоточенными параметрами, т.е. предполагалось, что электрическая цепь представляет собой совокупность некоторых самостоятельно существующих элементов R , L и C , сосредоточенных в различных ее точках. При этом геометрические размеры самой цепи, а также размеры входящих в нее элементов никакой роли не играли, и как следствие, считалось, что электрические и магнитные поля локализованы в пределах конденсаторов и катушек индуктивности, а потери мощности — в резисторах.

Более детальный анализ показывает, что цепей с сосредоточенными параметрами не существует. Индуктивность и ёмкость обусловлены не только индуктивностью и ёмкостью катушки и конденсатора, но и аналогичными свойствами самих проводов, находящихся под действием магнитных и электрических полей, образуемых токами и зарядами в линии. Активное сопротивление в цепи также обусловлено не только сопротивлением нагрузки, но и внутренним сопротивлением источника энергии и сопротивлением соединительных проводов. Таким образом, электромагнитное поле и потери равномерно или неравномерно распределены вдоль всей цепи. В результате напряжения и токи на различных участках даже неразветвленной цепи отличаются друг от друга, т.е. являются функциями двух независимых переменных: пространственной координаты x и времени t . Такие электрические цепи называются цепями с распределенными параметрами или длинными линиями.

10.2 Дифференциальные уравнения однородной линии с распределенными параметрами

Примером цепи с распределенными параметрами является однородная двухпроводная линия, т.е. такая линия, индуктивность, ёмкость, сопротивление и проводимость которой равномерно распределены вдоль всей ее длины. Эти электрические параметры, отнесенные к единице длины линии, называются первичными

(погонными) параметрами линии и обозначаются соответственно

L0 , C0 ,

R0 , G0 .

Единицы измерения первичных параметров: [ L0 ] = 1Гн/м (генри на метр), [ C0 ] = 1Ф/м (фарад на метр), [ R0 ] = 1Ом/м (ом на метр), [ G0 ] = 1См/м (сименс на метр).

Погонные параметры

R0 ,

G0 ,

L0 , C0

в применении к двухпроводной линии

означают следующее: L0

и R0

— индуктивность и сопротивление пары проводов в

расчете на единицу длины, C0

и G0

— ёмкость и проводимость утечки между

проводами на единицу длины. Параметр R0

при этом выражает потери энергии в

проводе и на излучение, G0

— потери в диэлектрике. Значения L0

и C0

зависят от

конструкции линии и электромагнитных параметров окружающей линию среды.

Составим дифференциальное уравнение, которому должны удовлетворять токи и напряжения в линии. Эти токи и напряжения являются функциями двух независимых переменных: пространственной координаты x , определяющей место наблюдения, и времени t , определяющего момент наблюдения.

Основной задачей теории цепей с распределенными параметрами является

определение пространственно-временного распределения тока в линии i(x;t ) и

напряжения между ее проводами u(x;t ). При этом в общем случае может

рассматриваться передача электромагнитной энергии по линии, когда источник и приемник имеются на обоих концах линии.

Разобьем линию на элементарные участки длиной Ä x (рисунок 10.1) и

рассмотрим две крайние точки любого из выделенных участков с координатами x и

x + Ä x , где x — расстояние, отсчитываемое от начала линии.

Рисунок 10.1 – Представление линии с распределенными параметрами совокупностью элементарных участков

Обозначим ток и напряжение в начале участка, соответствующие некоторому

моменту времени t , через i(x;t ), u(x;t ); ток и напряжение в конце участка —

i(x + Ä x;t ), u(x + Ä x;t ). Используя первичные параметры R0 , G0 , L0 , C0 , представим

приближенно рассматриваемый элементарный участок в виде последовательно

включенных (сосредоточенных) сопротивления R0Ä x и индуктивности L0Ä x и

параллельно включенных активной проводимости G0Ä x и ёмкости C0Ä x .

Для выделенного элементарного участка линии (рисунок 10.1) составим уравнения согласно законам Кирхгофа:

i(x;t )- C Ä x ¶u(x + Äx;t ) - G Ä xu(x + Ä x;t )- i(x + Ä x;t ) = 0 , (10.1)

0 ¶t 0

- u(x;t )+ R Ä xi(x;t )+ L Ä x ¶i(x;t ) + u(x + Ä x;t ) = 0 . (10.2)

0 0 ¶t

Уравнения (10.1), (10.2) преобразуем следующим образом:

- i(x + Äx;t ) - i(x;t ) = C

¶u(x + Äx;t ) + G u(x + Ä x;t ), (10.3)

Ä x 0 ¶t 0

- u(x + Äx;t ) - u(x;t ) = L

¶i(x;t ) + R i(x;t ). (10.4)

Ä x 0 ¶t 0

Точность уравнений (10.3), (10.4) тем выше, чем меньше длина выделенного

участка Ä x , поэтому, переходя к пределу при Ä x ® 0 , окончательно получим:

- ¶i(x;t ) = C

¶u(x;t ) + G u(x;t ), (10.5)

¶x 0 ¶t 0

- ¶u(x;t ) = L

¶i(x;t ) + R i(x;t ). (10.6)

¶x 0 ¶t 0

Уравнения (10.5), (10.6) являются дифференциальными уравнениями в частных производных и позволяют определить ток и напряжение в любой точке x линии в произвольный момент времени t . Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями однородной линии с распределенными параметрами или телеграфными уравнениями.

10.3 Дифференциальные уравнения линии с распределенными параметрами в комплексной форме

Теорию цепей с распределенными параметрами в установившемся режиме рассматривают для случая синусоидального тока. Тогда все соотношения при частоте

f = 0 можно распространить на цепи постоянного тока, а воспользовавшись

разложением токов и напряжений в ряд Фурье — на цепи периодического несинусоидального тока.

Пусть ток и напряжение в линии изменяются по синусоидальному закону с

угловой частотой . Пользуясь комплексным методом, заменим функции i(x;t ) и

u(x ; t ) в уравнениях (10.5), (10.6) комплексами действующих значений I& , U& :

i Þ I&e j w t , u Þ U&e j w t . (10.7)

Комплексы I& и U& являются функциями пространственной координаты x и не

зависят от времени. Экспоненциальный множитель

e j w t , напротив, является функцией

времени t и не зависит от координаты. Представление силы тока и напряжения в виде произведения двух функций, одна из которых ( I& или U& ) зависит только от x , а вторая ( e j w t ) только от t , позволяет в уравнениях (10.5), (10.6) перейти от частных производных к обыкновенным, причем

¶i Þ e j w t dI& ,

¶u Þ e j w t dU& ,

¶i Þ

j w e j w t I& ,

¶u Þ

j w e j w t U& . (10.8)

¶x dx ¶x dx ¶t ¶t

Преобразуя телеграфные уравнения (10.5), (10.6) согласно (10.7), (10.8), получим

- e j w t dI& = e j w t (G

+ j w C

)U& ,

- e j w t dU&

= e j w t (R

+ j w L

)I&

dx 0 0 dx 0 0

или после сокращения на общий множитель e j w t ¹ 0 :

где

- d I& = Y dx

0U& ,

- dU&

= Z 0

I& , (10.9)

Z 0 = R0 +

j w L0 ,

Y 0 = G0 +

j w C0

(10.10)

— комплексное сопротивление и комплексная проводимость единицы длины линии,

причем Z 0

и Y 0

не являются величинами, обратными друг другу: Y 0 ¹ 1 Z 0 .

Уравнения (10.9) есть дифференциальные уравнения линии с распределенными параметрами в комплексной форме.

10.4 Общее решение уравнений линии с распределенными параметрами в установившемся режиме синусоидального тока

Получим решение системы дифференциальных уравнений (10.9) относительно комплексов силы тока и напряжения I& и U& . Для этого продифференцируем оба уравнения системы:

- d 2I& =

dU&

- d 2U& = dI&

dx2

Y 0 dx ,

dx2 Z 0 dx

и заменим в первом уравнении

d U& dx

на d I&

dx , а во втором —

d I& dx

на d U& dx

согласно исходным уравнениям (10.9). В результате получим:

d 2I&

d 2U&

= &

dx2

Z 0Y 0I ,

dx2

Z 0Y 0U . (10.11)

Дифференциальные уравнения (10.11), определяющие изменения комплексных напряжения и тока вдоль линии, являются линейными однородными дифференциальными уравнениями 2-го порядка. Структуру их общего решения определяет характеристическое уравнение, которое для обоих дифференциальных уравнений (10.11) имеет одинаковый вид:

0 0

l2 - ZY = 0 , (10.12)

откуда

Таким образом,

l1,2 = ±

= ±g

= ±(a +

j b ). (10.13)

U& = A& e-g x + A& e ^g x , (10.14)

где — постоянная распространения,

определяемые из начальных условий.

A&1 и

A&2

— комплексные постоянные,

Ток I& как решение первого из уравнений (10.11) находится аналогично, однако

еще проще его можно определить, подставив решение (10.14) во второе уравнение системы (10.9):

I& = 1 (A& e-g x - A& e ^g x ), (10.15)

1 2

где величина

Z в = =

= Z в

e j q

(10.16)

называется волновым сопротивлением линии, Z в

сопротивления.

— модуль, q — аргумент волнового

Соотношения (10.14), (10.15) дают общее решение уравнений линии с распределенными параметрами в комплексной форме.

10.5 Прямые и обратные волны в линии

Комплексные постоянные

A&1 и

A&2

в формулах (10.14), (10.15), имеющие

размерность напряжения, запишем в показательной форме:

A&1

= Ae j y пр ,

A&2

= A e j y обр

пр

и, учитывая (10.16), получим выражения для мгновенных значений тока и напряжения в линии:

u(x;t ) =

2 Ae-a x sin(w t - b x +y )+

2 A e ^a x sin(w t + b x +y

обр

), (10.17)

i(x;t ) =

2 A1 e-a x sin(w t - b x +y

пр

Z в

-q )-

2 A2 e ^a x sin(w t + b x +y

Z в

обр

-q ). (10.18)

пр

Из формул (10.17), (10.18) следует, что мгновенное значение силы тока и напряжения в любой точке линии определяется суммой двух функций. Рассмотрим (на примере напряжения) первую из этих функций:

u пр

(x;t ) =

2 A e-a x sin(w t - b x +y

). (10.19)

Если считать точку x фиксированной ( x = const ) и рассматривать изменение

напряжения в этой точке в зависимости от времени t , то u пр (x;t ) представляет собой гармоническую функцию с постоянной амплитудой.

Если же считать момент времени t фиксированным ( t = const ) и рассматривать изменение напряжения вдоль линии (т.е. в зависимости от x ), то получим затухающую

синусоидальную волну напряжения, амплитуда которого

x , т.е. по мере удаления от начала линии к концу.

A e-a x

убывает с ростом

Волна тока или напряжения, которая с течением времени перемещается от начала линии к ее концу, называется прямой или падающей волной.

Аналогичное исследование второго слагаемого в выражении (10.17), т.е. функции

u обр

(x;t ) =

2 A e ^a x sin(w t + b x +y

обр

), (10.20)

показывает, что при фиксированном значении x функция

u обр (x;t ) представляет собой

гармоническую функцию с постоянной амплитудой, а при фиксированном значении t

— синусоидальную волну, амплитуда которой т.е. по мере удаления от начала линии к концу.

A e a x

возрастает с увеличением x ,

Волна тока или напряжения, которая с течением времени перемещается от конца

линии к ее началу, называется обратной или отраженной волной.

Таким образом, мгновенное напряжение u(x;t ) в линии можно рассматривать как

сумму двух волн, движущихся в противоположных направлениях, причем каждая из этих волн затухает в направлении своего движения.

Аналогичный вывод можно сделать и для мгновенного значения силы тока i(x;t ),

определяемого выражением (10.18). В этом случае функция

i пр

(x;t ) =

2 A1 e-a x sin(w t - b x +y

пр

Z в

-q )

(10.21)

задает прямую волну, а функция

— обратную.

i обр

(x;t ) =

2 A2 e ^a x sin(w t + b x +y

Z в

обр

-q )

(10.22)

Используя представления (10.19), (10.20), (10.21) и (10.22), общие решения (10.17), (10.18) можно записать в более компактной форме как суперпозиции падающих и отраженных волн:

u(x;t ) = u пр (x;t )+ u обр (x;t ), i(x;t ) = i пр (x;t )- i обр (x;t ). (10.23)

Геометрическая интерпретация падающей и отраженной волн на примере волны напряжения показана на рисунке 10.2.

а) б)

Рисунок 10.2 – Прямая (а) и обратная (б) волны напряжения в линии

Величина в формулах (10.17) – (10.22), характеризующая изменение амплитуды волны на единицу длины, называется коэффициентом затухания, а величина b , определяющая изменение фазы на единицу длины линии —

коэффициентом фазы. Убывание амплитуды волн вдоль линии обуславливается потерями в линии, а изменение фазы — конечной скоростью распространения электромагнитных колебаний.

Коэффициенты и b согласно (10.13) входят в комплексный параметр ,

который, следовательно, характеризует распространение волн тока и напряжения вдоль линии. Единицы измерения коэффициентов: [ ] = 1м ^-1, [ b ] = 1м ^-1.

Волновое сопротивление Z в

и постоянная распространения называются

вторичными или волновыми параметрами линии, а также параметрами передачи. Эти величины характеризуют свойства линии как устройства для передачи энергии или информации.

Примечания

1 Представление напряжения u(x;t ) в виде суммы прямой и обратной волн

согласно (10.23) означает, что положительное направление напряжения для обеих волн

принято одинаковым (от верхнего провода к нижнему). Положительные направления прямой и обратной волн тока в соответствии с (10.23) различны: положительное

направление прямой волны совпадает с положительным направлением тока i(x;t ) (от

начала к концу линии), а положительно направление обратной волны ему противоположно.

2 Понятие о прямых и обратных волнах в линии при установившемся синусоидальном режиме облегчает представление и анализ процессов. Однако следует

иметь в виду, что физически в линии существуют только результирующий ток i(x;t ) и

напряжение u(x;t ) и что разложение их на прямые и обратные волны является лишь

удобным приемом.

10.6 Скорость и длина волны тока или напряжения в линии

Скорость перемещения прямой волны вдоль линии, называемая фазовой скоростью, определяется как скорость перемещения точки, фаза колебания которой остается постоянной. Это условие записывается для падающей волны тока и напряжения в виде

откуда

w t - b x +y пр - q

= const ,

w t - b x +y пр = const , (10.24)

d (w t - b x +y

dt пр

- q )= 0 ,

d (w t - b x +y

dt пр

)= 0 .

Следовательно, выражение

v = dx = w

(10.25)

ф dt b

определяет фазовую скорость прямой волны. Фазовая скорость обратной волны может быть рассчитана на основании соотношений аналогичных (10.24). В таком случае из условия неизменности фазы для обратной волны тока и напряжения

w t + b x +y обр - q = const ,

w t + b x +y обр = const

(10.26)

следует выражение для фазовой скорости обратной волны:

v = dx = - w , (10.27)

ф dt b

где знак «–» указывает, что обратная волна движется в направлении, противоположном прямой волне.

Длиной волны l называется расстояние между двумя ее ближайшими точками,

различающимися по фазе на 2p рад. В соответствии с этим определением для фаз

падающих волн тока и напряжения получаем:

пр

(w t - b x +y - q )- (w t - b (x + l )+y

- q )= 2p ,

откуда

(w t - b x +y )- (w t - b (x + l )+y

)= 2p ,

l = 2p

. (10.28)

Равенство аналогичное (10.28) можно также получить, исходя из выражений для фаз отраженных волн тока и напряжения:

(w t + b (x + l )+y

обр

- q )- (w t + b x +y

обр

- q )= 2p ,

(w t + b (x + l )+y

обр

)- (w t + b x +y

обр

)= 2p .

На основании формул (10.25), (10.28) также запишем

l = v T = v ф , (10.29)

ф f

где T — период, f — частота колебаний. Из (10.29) следует, что за время, равное одному периоду, падающая и отраженная волны перемещаются на расстояние, равное длине волны.

Используя понятие длины волны l , можно установить правило, определяющее, в

каком случае конкретную электрическую цепь следует рассматривать как цепь с распределенными параметрами. Считается, что линия, длина l которой соизмерима с

длиной волны l , является линией с распределенными параметрами. Математически указанное условие записывают в виде следующего неравенства:

l > (0,05 ¸ 0,1)l . (10.30)

Если неравенство (10.30) выполняется, цепь считают распределенной, если не

выполняется — сосредоточенной. Так, например, для

f = 50 Гц и

v = 3 ×108 м/с

(скорость распространения волны в линии близка к скорости света) согласно (10.29) и

(10.30) получим, что линия с распределенными параметрами должна иметь

протяженность l > (300 ¸ 600)км. При частоте f = 108 Гц уже при l > (0,15 ¸ 0,3)м

электрическую цепь следует рассматривать как линию с распределенными параметрами.

10.7 Решение уравнений линии с распределенными параметрами для граничных условий, заданных в начале и конце линии. Входное сопротивление линии

Постоянные интегрирования

A&1 и

A&2 , входящие в решение (10.14), (10.15), можно

определить, если известны граничные условия.

Рисунок 10.3 – Схема, иллюстрирующая составление граничных условий для линии с распределенными параметрами

При анализе процессов в линии с распределенными параметрами граничные

условия обычно задают в начале или в конце линии, т.е. при длина всей линии (рисунок 10.3).

10.7.1 Граничные условия в начале линии

x = 0

или

x = l , где l —

Пусть заданы напряжение U&1 и ток

I&1

в начале линии ( x = 0 ):

U& = U& ,

x=0

I& = I& . (10.31)

x=0

Из (10.14) и (10.15) тогда при

x = 0

получаем уравнения

A&1 - A&2 = I&1 Z в , A&1 + A&2 = U&1,

решая которые, находим постоянные интегрирования:

A& = 1 (U& + I& Z ), A& = 1 (U& - I& Z

). (10.32)

1 2 1 1 в 2 2 1 1 в

Подставляя (10.32) в (10.14), (10.15), получим

I& 1 ⎛ U&1 + & ⎞ -g x

1 ⎛ U&1 - & ⎞ g x , (10.33)

= ⎜ 1 ⎟

2 ⎝ Z в ⎠

- ⎜ 1 ⎟

2 ⎝ Z в ⎠

U& = 1 (U&

2 1

+ I&1 Z в

)e-g x + 1 (U&

2 1

- I&1 Z в

)e ^g x . (10.34)

Группируя члены в правой части выражений (10.33), (10.34) и вводя

гиперболические функции sh g x и ch g x , указанные соотношения преобразуем к виду

I& = - U&1 sh g x + I& ch g x , U& = -I& Z sh g x + U& ch g x . (10.35)

1 1 в 1

Формулы (10.33), (10.34) и (10.35) позволяют определить ток и напряжение в любой точке линии по их значениям в начале линии.

10.7.2 Граничные условия в конце линии

Пусть теперь заданы значения напряжения

U& 2

и тока

I&2

в конце линии ( x = l ),

т.е. задан режим нагрузки, а значит, и сопротивление

Z 2 = U& 2

I&2 :

U& = U& ,

x=l

= I&2 . (10.36)

В этом случае целесообразнее отсчитывать расстояние текущей точки от конца

линии. Обозначая его через x¢ , получим x = l - x¢ и x¢ = l - x (рисунок 10.3).

В новой системе координат относительно x¢ граничные условия (10.36)

запишутся в виде:

U& x¢=0 = U& 2 , I& x¢=0 = I&2 . (10.37)

Заменяя в уравнениях (10.14), (10.15) x на (l - x¢) и используя граничные условия

(10.37), при

x¢ = 0

получим уравнения

A& e-g l - A&

e ^g l = I&

Z в ,

A& e-g l + A& g l

= U& 2 ,

решая которые, найдем постоянные интегрирования:

A& = 1 (U& + I& Z

)e ^g l ,

A& = 1 (U&

-I& Z

)e-g l . (10.38)

1 2 2 2 в

2 2 2

2 в

Подставляя (10.38) в (10.14), (10.15), получим

& 1 ⎛ U& 2

& ⎞ g x¢

1 ⎛ U& 2

& ⎞ -g x¢

I = ⎜

2 ⎝ Z в

+ I2 ⎟e

⎠

- ⎜

2 ⎝ Z в

- I2 ⎟e

⎠

, (10.39)

U& = 1 (U&

2 2

+ I&2 Z в

)e ^g x¢ + 1 (U&

2 2

- I&2 Z в

)e-g x¢ . (10.40)

Группируя члены в правой части выражений (10.39), (10.40) и вводя

гиперболические функции s h g x¢ и ch g x¢ , указанные соотношения преобразуем к виду

I& = U& 2 s h g x¢ + I& ch g x¢ , U& = I& Z sh g x¢ + U&

ch g x¢. (10.41)

2 2 в 2

Формулы (10.39), (10.40) и (10.41) позволяют определить ток и напряжение в любой точке линии по их значениям в конце линии.

10.7.3 Входное сопротивление линии

Входным сопротивлением линии

Z вх

называется сосредоточенное сопротивление,

которым при гармоническом режиме можно заменить линию вместе с нагрузкой на ее конце, равное отношению напряжения к току в начале линии:

Z вх

= U&1 . (10.42)

I&1

Так как для линии с длиной l и нагрузкой Z 2 выполняется условие

U& 2 = I&2 Z 2

(см. рисунок 10.3), то из (10.41), (10.42) при x¢ = l получаем

Z = ZZ 2 + Z в th g l , (10.43)

вх в

+ Z 2

th g l

где th g l = sh g l

ch g l

— гиперболический тангенс.

10.8 Линия без потерь. Входное сопротивление линии без потерь при холостом ходе и коротком замыкании на конце линии

В ряде случаев, например, при высоких частотах, когда

w L0 >> R0 , w C0 >> G0 ,

можно пренебречь наличием потерь в линии и принять называют идеальной линией или линией без потерь.

R0 = 0 ,

G0 = 0 . Такую линию

Вторичные параметры линии без потерь следующие:

g = j b ,

b = w

, Z в = . (10.44)

Из (10.44) следует, что в линии без потерь затухание отсутствует: Формулы (10.41) тогда с учетом (10.44) примут вид

a = 0 .

I& =

j U& 2 si n b x¢ + I& cos b x¢, U& = jI& Z sin b x¢ + U&

cos b x¢ . (10.45)

2 2 в 2

Входное сопротивление для линии без потерь согласно (10.43), (10.45) равно:

Z = ZZ 2 + jZ в tg b l . (10.46)

вх в

jZ 2

tg b l

Из (10.46) следует, что входное сопротивление идеальной линии зависит от ее длины l . В частности, формула (10.46) показывает, что отрезок линии может быть использован в качестве реактивного сопротивления. Обычно реактивное сопротивление реализуют в виде короткозамкнутой ( Z 2 = 0 ) или разомкнутой на конце ( Z 2 = ¥) линии.

Из (10.46) при

Z 2 = 0 для короткозамкнутой линии находим

Z вх кз =

jZ в tg b l , (10.47)

для разомкнутой линии при

Z 2 = ¥ получаем

Z вх хх

= - j

Z в

tg b l

. (10.48)

Учитывая (10.28), соотношения (10.47), (10.48) представим в форме

Z = jZ tg⎛ 2p l ⎞ , Z

= - jZ ctg⎛ 2p l ⎞ . (10.49)

вх кз в ⎜

⎠

⎝

l ⎟ вх хх в ⎜ ⎟

⎝

⎠

На рисунке (10.4) представлены зависимости входных сопротивлений

короткозамкнутой

Z вх кз

(рисунок 10.4, а) и разомкнутой

Z вх хх

(рисунок 10.4, б) линий

от их длины l и указаны области, в которых эти сопротивления имеют индуктивный и ёмкостный характер.

а)

б)

Рисунок 10.4 – Зависимости входного сопротивления линии от ее длины для короткозамкнутой (а) и разомкнутой (б) линии

Из формул (10.49), а также из рисунка 10.4 следует, что, изменяя длину отрезка линии без потерь при холостом ходе или коротком замыкании на конце линии, можно создавать индуктивное и ёмкостное сопротивление любой величины.

10.9 Линия без искажения. Условия для неискажающей линии

Сигналы, передаваемые по линии связи, представляют собой множество различных частот: дискретных (в случае периодических несинусоидальных сигналов) и частот, образующих непрерывный спектр (в случае непериодических сигналов).

Волновое сопротивление Z в

линии и коэффициент распространения зависят от

частоты. Поэтому условия прохождения волн тока и напряжения для различных частот оказываются различными. Если сигнал на входе линии является периодической несинусоидальной функцией времени, то на выходе линии форма кривой сигнала будет отличаться от ее формы на входе, так как для различных гармоник условия прохождения различны. Это же будет иметь место и при любом апериодическом сигнале, так как такой сигнал может быть представлен в виде сплошного частотного спектра с помощью преобразования Фурье, и для различных частот этого спектра условия прохождения вдоль линии будут различными.

Для линии связи очень важным является создание условий, при которых отсутствовало бы искажение формы передаваемого сигнала (тока и напряжения). Для

этого необходимо, чтобы волновое сопротивление

Z в , коэффициент затухания и

фазовая скорость v ф

были на всех частотах одинаковы, т.е. не зависели от частоты.

Очевидно, при этом коэффициент фазы b должен быть пропорционален частоте. Такие условия оказываются выполненными, если соблюдается соотношение

Действительно, при этом

R0 = G0 . (10.50)

L0 C0

Z = =

= L0

R0 L0 + j w = ,

C0 G0

C0 + j w

g = =

(R0 +

j w L0 )(G0 +

j w C0 ) =

L0C0

(R0

L0 +

j w )(G0

C0 +

j w ) =

откуда

= L0C0 (R0

L0 +

j w ) =

R0G0 + j w ,

a = , b = w ,

т.е. выполняются все вышеуказанные требования, необходимые для того, чтобы передача сигнала была неискаженной. Линия, параметры которой удовлетворяют условию (10.50), называется линией без искажения, поскольку любые сигналы распространяются по ней с сохранением их формы. Соотношения (10.50) в таком случае являются условиями для неискажающей линии.

Примечание – Можно показать, что при выполнении условий (10.50)

коэффициент затухания и коэффициент фазы b имеют минимальные значения, т.е.

линия без искажений является одновременно и линией с минимальным затуханием,

которое только и возможно при заданных параметрах R0 и G0 .

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 846; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 333435 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!