Магнитодвижущая сила и магнитное напряжение участка магнитной
Магнитодвижущей (или намагничивающей) силой (МДС) катушки или обмотки с
током называется произведение числа витков катушки w на величину протекающего в ней тока I :
F = wI . (8.10)
Единица измерения МДС: [ F ] = 1А (ампер).
МДС F вызывает магнитный поток F в магнитной цепи подобно тому, как ЭДС E вызывает электрический ток I в электрической цепи. Как и ЭДС, МДС имеет направление действия.
Положительное направление МДС совпадает с движением острия правого винта, если его вращать по направлению тока в обмотке.
Для определения положительного направления МДС пользуются мнемоническим правилом: если сердечник мысленно охватить правой рукой, расположив ее пальцы по направлению тока в обмотке, а затем отогнуть большой палец, то последний укажет направление МДС.
На рисунке 8.3 изображены несколько эскизов сердечников с различными направлениями намоток катушек и различными направлениями токов в них.
 |  |  |  |
Рисунок 8.3 – Эскизы, поясняющие правило определения направления МДС
Магнитным напряжением (падением напряжения) между двумя точками « a » и
« b » магнитной цепи называется линейный интеграл напряженности магнитного поля между этими точками:
(b )
U = ò r
r . (8.11)
Mab
(a )
Hdl
Рисунок 8.4 – Определение напряжения на участке магнитной цепи
|
|
|
Если на участке магнитной цепи напряженность H постоянна и совпадает по
направлению с элементом пути
dl , то
Hdl
= Hdl cos 0 = Hdl
и величину H можно
вынести из-под знака интеграла, тогда согласно (8.11) получим
где l ab
(b )
U Mab = H òdl = H l ab , (8.12)
(a )
— длина пути между точками « a » и « b » магнитной цепи (рисунок 8.4).
Единица измерения магнитного напряжения: [U M ] = 1А (ампер).
Примечание – При анализе магнитных цепей иногда вводят понятие разности
магнитных потенциалов напряжения:
j Ma
и j Mb , которая приравнивается величине магнитного
U Mab = j Ma - j Mb . (8.13)
Соотношение (8.13), таким образом, устанавливает формальную аналогию с определением напряжения на участке электрической цепи постоянного тока как
разности электрических потенциалов j a и j b , т.е. аналогию с формулой (1.4).
8.4 Классификация магнитных цепей
Магнитные цепи в зависимости от конфигурации магнитопровода и особенностей взаимодействия магнитных потоков подразделяются на следующие группы:
1) разветвленные и неразветвленные магнитные цепи;
|
|
|
2) однородные и неоднородные;
3) симметричные и несимметричные.
Неразветвленными называют магнитные цепи с одним магнитным потоком
(рисунок 8.5).
 |  |
а) б)
Рисунок 8.5 – Неразветвленная однородная (а) и неоднородная (б) магнитная цепь
Разветвленные магнитные цепи содержат участок, на котором замыкаются различные магнитные потоки (рисунок 8.6).
В однородной магнитной цепи, образованной замкнутым прямоугольным магнитопроводом (рисунок 8.5, а), каждый прямоугольный контур совпадает с одной из магнитных линий; магнитные линии проходят в одной среде и напряженность магнитного поля вдоль линий не изменяется.
На рисунке 8.5, б показан эскиз неоднородной магнитной цепи с воздушным зазором.
Разветвленные магнитные цепи делятся на симметричные и несимметричные.
Магнитная цепь на рисунке 8.6, а симметрична: в ней F1 = F2 , если обе части ее,
расположенные слева и справа от вертикальной пунктирной линии, геометрически
одинаковы, изготовлены из одного и того же материала и если
w1I1 = w2I2 ( F1 = F2 ).
Достаточно нарушить условие
w1I1 = w2I2
( F1 = F2 ), изменить направление тока в
одной из обмоток или сделать воздушный зазор в одном из крайних стержней магнитопровода, чтобы магнитная цепь стала несимметричной (рисунок 8.6, б).
|
|
|
 |  |
а) б)
Рисунок 8.6 – Разветвленная симметричная (а) и несимметричная (б) магнитная цепь
Примечание – Для описания геометрической конфигурации магнитных цепей используются те же структурные элементы, что и при анализе электрических цепей, т.е. узел, ветвь и контур.
8.5 Закон непрерывности магнитного потока и закон полного тока. Законы Кирхгофа для магнитных цепей
При расчетах магнитных цепей, как и электрических, применяют 1-й и 2-й законы Кирхгофа. Эти законы являются прямыми следствиями закона непрерывности магнитного потока и закона полного тока.
8.5.1 Закон непрерывности магнитного потока и первый закон Кирхгофа для магнитных цепей
Закон непрерывности магнитного потока устанавливает теорема Гаусса, согласно которой поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:
|
S
Из формулы (8.14) следует 1-й закон Кирхгофа для магнитных цепей.
|
|
|
Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма магнитных потоков в любом узле магнитной цепи равна нулю:
|
где p — число ветвей, сходящихся в узле.
= 0 , (8.15)
Примечание – При записи уравнения 1-го закона Кирхгофа (8.15) потоки, направленные к узлу магнитной цепи, берутся со знаком «+», направленные от узла — со знаком «–».
8.5.2 Закон полного тока и второй закон Кирхгофа для магнитных цепей
Магнитное поле создается электрическими токами. Количественную связь между этими токами и соответствующим полем устанавливает закон полного тока, согласно
которому циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль произвольного контура равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром:
r r n
òHd l
l
=åI k , (8.16)
k =1
где n — количество токов
I k , охватываемых контуром l .
Положительное направление интегрирования dl в формул (8.16) связано с
положительным направлением тока I k
правилом правого винта.
Если контур интегрирования будет пронизывать катушку с числом витков w , по которой проходит ток I , то
и, следовательно,
åI k = wI
|
|
l
Из формулы (8.17) следует 2-й закон Кирхгофа для магнитных цепей.
Второй закон Кирхгофа: в замкнутом контуре магнитной цепи алгебраическая сумма падений магнитного напряжения равна алгебраической сумме МДС, действующих в контуре:
|
=åF k ,
|
åH k l k
|
=åw k I k , (8.18)
|
где n — число участков контура, не содержащих МДС, m — число действующих в данном контуре МДС.
Примечание – При составлении уравнения 2-го закона Кирхгофа (8.18) в соответствующем контуре предварительно следует указать положительное направление
его обхода. Тогда магнитное напряжение U Mk в уравнении (8.18) запишется со знаком
«+», если направление соответствующего магнитного потока F k
совпадает с обходом
контура. Аналогично МДС F k
считается положительной, если направление ее действия
совпадает с направлением обхода контура.
 |
Рассмотрим, к примеру, разветвленную магнитную цепь, изображенную на рисунке 8.7, и составим для нее полную систему уравнений на основании законов Кирхгофа (8.15), (8.18).
Рисунок 8.7 – Схема разветвленной магнитной цепь, иллюстрирующая правила составления системы уравнений на основании законов Кирхгофа
Обозначим через F1 , F 2 и F3 — магнитные потоки ветвей, l1 . l2 и l3 — длины
магнитных линий для этих потоков в ферромагнетике, d — длину воздушного зазора. Система уравнений на основании 1-го и 2-го законов Кирхгофа для данной схемы следующая:
F1 + F2 -F3 = 0 ;
H1l1 + H3l3 + H d d = w1I1 ;
H 2l2 + H3l3 + H d d = w2I2 ,
где
H1 , H2
и H3
— напряженности магнитного поля в ферромагнетике, H d —
напряженность магнитного поля в воздушном зазоре.
8.6 Магнитное сопротивление и магнитная проводимость. Закон Ома для магнитной цепи
Магнитный поток F в магнитной цепи является аналогом электрического тока I
в электрической цепи. Также соотносятся между собой магнитное и электрическое
напряжения, т.е. величины U M
и U . Известно, что ток и напряжение в электрической
цепи связаны законом прямой пропорциональности (законом Ома). Установим аналогичное соотношение между магнитным потоком и магнитным напряжением для магнитной цепи.
Рассмотрим сначала ферромагнитный участок цепи. Согласно (8.12) магнитное
напряжение U M
равно:
U M = Hl , (8.19)
где H — напряженность магнитного поля на участке магнитной цепи длиной l .
Поскольку напряженность H и индукция B связаны равенством (8.9), согласно которому
B = m0m H , (8.20)
а магнитный поток F и магнитная индукция B — равенством (8.3), т.е.
то из (8.20) и (8.21) следует
F = BS
H = B = F
(8.21)
, (8.22)
m0m m0m S
где S — поперечное сечение участка магнитной цепи.
Из (8.19) и (8.22) тогда получаем:
или
U M = F
l
m0m S
где величина
U M = F R M , (8.23)
R M =
l
m0m S
(8.24)
определяет магнитное сопротивление участка магнитной цепи, а соотношение (8.23) —
падение магнитного напряжения на этом участке, выраженное через магнитный поток
F и магнитное сопротивление R M . Единица измерения магнитного сопротивления: [ R M ] = 1Гн (генри).
Из уравнения (8.23) следует закон Ома для магнитной цепи:
F = U M
R M
. (8.25)
Соотношения аналогичные (8.23) – (8.25) можно получить и для неферромагнитного участка магнитной цепи, например, для воздушного зазора длиной d :
 |
|
|
|
d d d
0 d d
где U d
и R d
определяют падение напряжения и сопротивление воздушного зазора, S d
— площадь поперечного сечения участка магнитной цепи с воздушным зазором.
Примечание – Наряду с магнитными сопротивлениями R M
и R d
при анализе
магнитных цепей рассматривают магнитные проводимости G M
как величины, обратные соответствующим сопротивлениям:
и G d , определяемые
|
G = 1 = m0S d
. (8.27)
R M l
|
8.7 Методы расчета магнитных цепей постоянного тока
При анализе магнитных цепей и, в первую очередь, при их синтезе обычно используют следующие допущения:
1) магнитная напряженность и соответственно магнитна индукция во всех точках поперечного сечения магнитопровода одинакова;
2) потоки рассеяния отсутствуют, т.е. магнитный поток через любое сечение неразветвленной части магнитопровода одинаков. Потоком рассеяния называется поток, который замыкается, минуя основной путь магнитного потока в магнитопроводе;
3) сечение воздушного зазора равно сечению прилегающих участков магнитопровода.
Указанные допущения позволяют использовать при анализе магнитных цепей законы Кирхгофа (8.15), (8.18) и законы Ома (8.25). (8.26).
8.7.1 Формальная аналогия между величинами и законами электрических и магнитных цепей. Схемы замещения магнитных цепей
Математические выражения законов Ома и Кирхгофа для магнитных цепей по структуре аналогичны соответствующим законам Ома и Кирхгофа для линейных электрических цепей. Это позволяет установить формальную аналогию между основными величинами и законами электрических и магнитных цепей (см. таблицу 8.1).
Таблица 8.1 – Аналогия величин и законов электрических и магнитных цепей
| Электрическая цепь | Магнитная цепь |
| Сила тока, I | Магнитный поток, F |
| Электрическое напряжение, U | Магнитное напряжение, U M |
| Электродвижущая сила (ЭДС), E | Магнитодвижущая сила (МДС), F |
| Электрическое сопротивление, R | Магнитное сопротивление, R M |
Продолжение таблицы 8.1
| Электрическая цепь | Магнитная цепь |
| 1-й закон Кирхгофа, p åI k = 0 k =1 | 1-й закон Кирхгофа, p åF k = 0 k =1 |
| 2-й закон Кирхгофа, n m åU k =åE k k =1 k =1 | 2-й закон Кирхгофа, n m åU Mk =åF k k =1 k =1 |
| Закон Ома, I = U R | Закон Ома, F = U M R M |
Результаты, представленные в таблице 8.1, указывают на возможность использования схем замещения магнитных цепей постоянного магнитного потока, подобных схемам замещения электрических цепей. Так, например, магнитной цепи, изображенной на рисунке 8.8, а, соответствует схема замещения, изображенная на рисунке 8.8, б.
 |  |
а) б)
Рисунок 8.8 – Эскиз магнитной цепи (а) и соответствующая схема замещения (б)
Примечание – Из сравнения рисунков 8.8, а и 8.8, б следует, что при составлении схемы замещения магнитной цепи участок ее, где путь магнитного потока пролегает в ферромагнетике, изображают нелинейным сопротивлением, а путь потока в воздушном зазоре — линейным сопротивлением. Магнитодвижущую силу на схеме замещения представляют источником энергии.
8.7.2 Общая характеристика методов расчета магнитных цепей. Прямая и обратная задачи
Формальная аналогия между электрическими и магнитными цепями позволяет распространить все методы и технику расчета нелинейных резистивных цепей
постоянного тока на нелинейные магнитные цепи. При этом аналогом ВАХ I = I (U ) в
магнитных цепях является вебер-амперная характеристика F = F (U M ), нелинейный
характер которой в общем случае и определяет нелинейность магнитных цепей.
В отличие от электрических цепей вебер-амперные характеристики
F = F (U M )
для магнитных цепей в готовом виде не задаются. Перед началом расчетов их нужно
построить с помощью кривых намагничивания B(H ) ферромагнитных материалов, входящих в магнитную цепь.
При расчете магнитных цепей относительно постоянных магнитных потоков
обычно используют основную кривую намагничивания. Петлеобразный характер
зависимости B(H ) учитывается при расчете постоянных магнитов и
электротехнических устройств на их основе.
На практике при расчете магнитных цепей встречаются две типичные задачи:
1) задача определения величины МДС, необходимой для создания заданного магнитного потока (заданной магнитной индукции) на каком-либо участке магнитопровода (задача синтеза или прямая задача);
2) задача нахождения потоков (магнитных индукций) на отдельных участках цепи по заданным значениям МДС (задача анализа или обратная задача).
В зависимости от типа рассматриваемой задачи все многообразие методов расчета нелинейных магнитных цепей можно свести к трем основным группам:
1) аналитические методы, с помощью которых решаются задачи первого типа —
прямые задачи;
2) графические методы, с помощью которых решаются задачи второго типа —
обратные задачи;
3) численные методы, основанные на приближенных способах решения с помощью ЭВМ алгебраических уравнений, описывающих магнитную цепь.
8.7.3 Аналитические методы расчета разветвленных и неразветвленных магнитных цепей. Прямая задача
Данными методами, как отмечалось, решаются прямые задачи. При этом в качестве исходных данных для расчета задаются конфигурация и основные геометрические размеры магнитной цепи, кривая намагничивания ферромагнитного материала и магнитный поток или магнитная индукция в каком-либо сечении магнитопровода. Требуется найти МДС, токи в обмотках или, при известных значениях последних, число витков.
Реализацию метода рассмотрим сначала на примере неразветвленной магнитной цепи, изображенной на рисунке 8.9, а.
 |  |
а) б)
Рисунок 8.9 – Схемы неразветвленной (а) и разветвленной (б) магнитной цепи, иллюстрирующие применение аналитического метода решения прямой задачи
Расчет этой цепи можно построить в следующей последовательности:
1) наметить среднюю линию (на рисунке 8.9, а это пунктирная линия), которую затем разделить на участки l1 , l2 , l3 , l4 и d с одинаковым сечением магнитопровода;
2) исходя из постоянства магнитного потока F вдоль цепи, определить значение
индукции B k
для каждого k - го участка по формуле
|
где S k
k
k
— сечение участка;
3) по кривой намагничивания B(H )
для каждого значения B k
найти
напряженность H k
на ферромагнитных участках. Напряженность поля в воздушном
зазоре рассчитать по формуле
H = B d ;
|
4) по 2-му закону Кирхгофа для магнитной цепи определить искомую МДС путем суммирования падений магнитного напряжения вдоль контура:
|
k =1
где d — длина воздушного зазора.
Расчет разветвленных магнитных цепей основан на совместном применении 1-го и 2-го законов Кирхгофа для магнитных цепей. Последовательность решения задач данного типа в целом соответствует уже рассмотренному алгоритму решения прямой задачи для неразветвленной цепи рисунка 8.9, а. В качестве примера рассмотрим реализацию этого алгоритма для разветвленной магнитной цепи, изображенной на
рисунке 8.9, б.
Пусть при заданной геометрии магнитной цепи и известной характеристике B(H )
ферромагнитного сердечника требуется определить МДС
F1 = w1I1, необходимую для
создания в воздушном зазоре индукции B d
(рисунок 8.9, б).
Расчет этой цепи можно построить в следующей последовательности:
1) задать положительные направления магнитных потоков F1 , F2
магнитной цепи;
2) по формуле
и F3
в ветвях
|
m0
определить напряженность магнитного поля в воздушном зазоре и по зависимости
B(H ) ( при условии B3 = B d ) — значение H3 ;
3) на основании 2-го закона Кирхгофа для правого контура цепи, т.е. на основании уравнения
H3l3 + H d d - H 2l2 = 0
рассчитать напряженность H2
и по характеристике B(H ) — магнитную индукцию
B2 ;
4) на основании 1-го закона Кирхгофа
F1 = B2S2 + B3S3
определить магнитный поток F1 , затем по формуле
|
рассчитать магнитную индукцию
1
1
B1 и по зависимости
B(H ) — напряженность
H1 ;
5) в соответствии со 2-м законом Кирхгофа определить искомую МДС по формуле
F1 = H1l1 + H 2l2 .
8.7.4 Графические методы расчета разветвленных и неразветвленных магнитных цепей. Обратная задача
Данными методами решаются обратные задачи. При этом в качестве исходных данных для расчета задаются конфигурация и геометрические размеры магнитной цепи, кривая намагничивания ферромагнитного материала, а также МДС обмоток. Требуется найти значения потоков (индукций) на отдельных участках магнитопровода.
Данные методы основаны на графическом представлении вебер-амперных
характеристик F = F (U M ) линейных и нелинейных участков магнитной цепи с
последующим решением алгебраических уравнений, записанных согласно законам Кирхгофа, с помощью графических построений на плоскости.
Применение графических методов к решению обратных задач рассмотрим на примере магнитных цепей, изображенных на рисунке 8.9, заменив их эквивалентными схемами замещения, представленными на рисунке 8.10.
 |  |
а) б)
Рисунок 8.10 – Схемы замещения неразветвленной (а) и разветвленной (б) магнитной цепи, иллюстрирующие применение графического метода решения обратной задачи
Если магнитная цепь неразветвленная (рисунок 8.10, а), то ее расчет аналогичен методу расчета резистивной цепи постоянного тока при последовательном соединении
нелинейных сопротивлений (см. раздел 7.5.1). В этом случае необходимо построить
результирующую вебер-амперную характеристику F = F (U M ) всей магнитной цепи,
исходя из характеристик F = F1(U M ) и F = F2 (U M ) ее отдельных участков, а затем на
основании зависимости F = F (U M ) рассчитать магнитный поток F в цепи и, при
необходимости, магнитные напряжения
U M 1
и U M 2
на ее участках. Результирующая
вебер-амперная характеристика F = F (U M ) определяется из соотношений
F1 = F2 = F = const , U M = U M 1 + U M 2
(8.28)
и может быть получена графическим путем, если в качестве общего аргумента принять магнитный поток F , замыкающийся в магнитопроводе. Методика построения
характеристики F = F (U M ) аналогична методике построения результирующей ВАХ
I = I (U )
для последовательного соединения нелинейных сопротивлений и подробно
описана в разделе 7.5.1.
Отметим, что при расчете неразветвленных магнитных цепей, содержащих воздушные зазоры (рисунок 8.10, а), целесообразно использовать метод пересечения характеристик (см. раздел 7.5.4), при котором искомое решение определяется точкой
пересечения нелинейной вебер-амперной характеристики U M (F ) нелинейной части
цепи и линейной характеристики линейного участка, строящейся на основании уравнения
|
k =1
= wI - H d d
= F - R d F .
Подробно метод пересечения характеристик описан в разделе 7.5.4 и его практическое применение к магнитным цепям принципиально ничем не отличается от использования для анализа нелинейных резистивных цепей постоянного тока.
В случае разветвленных магнитных цепей (рисунок 8.10, б) также могут быть использованы все графические методы, применяемые при анализе аналогичных нелинейных электрических цепей постоянного тока.
В частности, при расчете магнитных цепей, содержащих два узла (такую конфигурацию имеет большое число используемых на практике магнитопроводов), широко применяется метод двух узлов. Его графическая интерпретация подробно рассмотрена в разделе 7.5.6 также для нелинейных резистивных цепей постоянного тока. В отношении магнитных цепей практическое использование этого метода аналогичное. Так, например, при расчете магнитной цепи, изображенной на
рисунке 8.10, б, необходимо магнитные потоки F1 , F 2 и F3 в параллельных ветвях
схемы выразить в функции общего аргумента U M 0
— магнитного напряжения между
двумя узлами схемы и графически определить, в какой точке реализуется 1-й закон Кирхгофа, т.е. в данном случае уравнение
F1(U M 0 )-F2 (U M 0 )-F3 (U M 0 ) = 0 .
Соответствующие этой точке магнитные потоки F1 , F 2 и F3 являются решением поставленной задачи.
8.7.5 Численные методы расчета магнитных цепей
Данные методы (метод простых итераций и метод Ньютона), сущность которых была рассмотрена в разделе 7.7 при анализе нелинейных резистивных цепей постоянного тока, являются приближенными численными методами решения нелинейных алгебраических уравнений, описывающих состояние магнитной цепи. Эти методы хорошо поддаются алгоритмизации и в настоящее время широко используются при исследовании сложных магнитных цепей на ЭВМ.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 661; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!