Лекция 6. Переходные процессы в линейных электрических цепях и методы их анализа 3 страница
следующее выражение для переходного тока в цепи:
-
 |
t
i = Ae t + I m sin(w t +y e - j ). (6.30)
Постоянная A в (6.30) определяется из начального условия, согласно которому
должна быть задана величина тока в индуктивной катушке i L (0- ) до включения цепи.
Так как в докоммутационном режиме ток в катушке отсутствовал, то i L (0- ) = 0 и, следовательно,
i L (0- ) = i L (0+ ) = i(0+ ) = A + I m si n(y e - j ) = 0 и A = -I m si n(y e - j ).
|
 |
|
i св = -I m sin(y e - j )e t ,
t
i = I m sin(w t +y e - j )- I m sin(y e - j )e t . (6.31)
Графики изменения величин
i пр ,
i св , i и e в переходном процессе, построенные
согласно формулам (6.28), (6.29) и (6.31), приведены на рисунке 6.5, б. Из анализа этих зависимостей следует, что на характер переходного процесса в рассматриваемой цепи
существенное влияние оказывает фаза включения
y e . Так, если
y e = j , то
согласно (6.31)
i св = 0 , т.е. свободный ток при коммутации вообще не возникает и
электрическая цепь сразу же переходит в стационарное состояние, при котором переходной ток равен установившемуся значению:
i = I m sin w t .
Если включение происходит при
y e = j ± p
2 , то свободный ток
i св
будет
наибольший и в начальный момент времени равный амплитуде
I m установившегося
тока. Если постоянная времени значительно больше периода изменения ЭДС
источника T (t >> T ), то свободный ток за половину периода установившегося тока не
|
|
|
успеет существенно уменьшиться. Поэтому при неблагоприятных условиях коммутации
y e = j ± p 2 и большой постоянной времени максимальное значение переходного
тока может почти в два раза превысить амплитуду установившегося тока.
6.8 Переходные процессы в цепи с конденсатором
Рассмотрим переходные процессы в цепи, состоящей из последовательно включенных участков с сопротивлением R и ёмкостью C (переходные процессы в реальном конденсаторе).
6.8.1 Включение конденсатора на постоянное напряжение
Исследуем переходной процесс, возникающий при подключении R , C – цепи
(конденсатора) к источнику постоянной ЭДС E = const , т.е. режим заряда конденсатора
ёмкостью C через сопротивление R (рисунок 6.6, а).
 |  |
а) б)
Рисунок 6.6 – Схема замещения цепи (а) и временная диаграмма токов и напряжений
в конденсаторе (б) при подключении к источнику постоянного напряжения
В послекоммутационном режиме, когда ключ K замкнут, переходной процесс в цепи описывается дифференциальным уравнением
RC duC
dt
+ u C
= E . (6.32)
|
|
|
Соответствующее однородное уравнение, определяющее свободное напряжение будет
u св ,
RC du Cсв + u dt
Cсв
= 0 . (6.33)
Его характеристическое уравнение
RC l +1 = 0
(6.34)
имеет единственный корень l = -1 (RC ), поэтому
u Cсв
= Ae l t
= Ae
- 1 t RC
- t
= Ae t , (6.35)
где t
= RC
— постоянная времени.
Напряжение на зажимах конденсатора в установившемся режиме
u Cпр = E . (6.36)
Переходной процесс в цепи определяется суммой свободной и принужденной составляющих, поэтому из (6.35) и (6.36) следует:
- 
t
u C = u Cсв + u Cпр = Ae t
+ E . (6.37)
Для определения постоянной интегрирования A воспользуемся 2-м законом коммутации. До коммутации напряжение на конденсаторе было равно нулю
( u C (0- ) = 0 ), так как конденсатор не был заряжен, следовательно, в первый момент
времени после коммутации напряжение u C (0+ ) будет также равно нулю:
u C (0- ) = u C (0+ ) = A + E = 0 .
Отсюда A = -E , поэтому выражение (6.37) можно представить в виде
|
|
|
| |
⎛ - t ⎞
u C = E⎜1 - e t ⎟ ,
t = RC , (6.38)
⎝ ⎠
т.е. напряжение на ёмкости нарастает до установившегося значения (6.36) по экспоненциальному закону с постоянной времени , которая определяет скорость этого процесса.
Ток в ёмкостном элементе с ёмкостью C , т.е. ток в последовательной R , C –
цепи:
i = C du C =
dt
E - t
e t . (6.39)
R
Напряжение на резистивном элементе с сопротивлением R пропорционально току (6.39):
- t
u R = Ri = Ee t . (6.40)
Графики изменения величин
u C , i и u R
в переходном процессе, построенные
согласно формулам (6.38) – (6.40), приведены на рисунке 6.6, б. В первый момент времени после коммутации ток в цепи ограничен только сопротивлением, т.е.
i(0+ ) = E R , а напряжение на резисторе скачком возрастает до величины ЭДС
источника: u R (0+ ) = E . В последующие моменты времени, с увеличением напряжения
на конденсаторе, ток в цепи по экспоненциальному закону уменьшается до нуля.
Примечание – Ток в рассматриваемой цепи может изменяться скачком, поскольку она не содержит элемента, обладающего индуктивностью. Это необходимо учитывать в случаях, когда к источнику напряжения подключается цепь, содержащая конденсатор.
|
|
|
6.8.2 Короткое замыкание конденсатора в цепи постоянного тока
Исследуем переходной процесс, возникающий при коротком замыкании
R , C – цепи (конденсатора), подключенной к источнику постоянного напряжения, т.е. режим разряда конденсатора ёмкостью C через сопротивление R (рисунок 6.7, а)
 |  |
а) б)
Рисунок 6.7 – Схема замещения цепи (а) и временная диаграмма токов и напряжений в конденсаторе (б) при коротком замыкании
Запишем дифференциальное уравнение переходного процесса в цепи после замыкания ключа:
RC duC
dt
+ u C
= 0 . (6.41)
Так как дифференциальное уравнение (6.41) однородное, т.е. совпадает с уравнением (6.33),то его общее решение содержит только свободную составляющую:
- t
u C = u Cсв = Ae t ,
где постоянная времени t
на конденсаторе
= RC . Поскольку в докоммутационном режиме напряжение
u C (0- ) = E ,
то постоянная интегрирования
A = E и выражение для переходного напряжения
- t
u C = Ee t , t = RC . (6.42)
Ток при разряде конденсатора и напряжение на резистивном элементе равны:
i = -
E - t
e t ,
R
- t
u R = -Ee t
(6.43)
Графики изменения величин
u C , i и u R
в переходном процессе, построенные
согласно формулам (6.42), (6.43), приведены на рисунке 6.7, б.
6.8.3 Включение конденсатора на синусоидальное напряжение
Исследуем переходной процесс, возникающий при подключении R , C – цепи
(конденсатора) к источнику синусоидальной ЭДС (рисунок 6.8, а):
e = E m sin(w t +y e ),
где E m , и y e — амплитуда, угловая частота и начальная фаза этой ЭДС. Как и в
случае катушки индуктивности, величина y e зависит от момента включения
синусоидального источника в R , C – цепь и также называется фазой включения.
а) б)
Рисунок 6.8 – Схема замещения цепи (а) и временная диаграмма токов и напряжений в конденсаторе (б) при подключении к источнику синусоидального напряжения
Дифференциальное уравнение для рассматриваемой цепи имеет вид
RC duC
dt
+ u C
= e . (6.44)
Установившееся напряжение на ёмкости
где
u Cпр
= U Cm
sin⎛w t +y
|
- j - p ⎞ , (6.45)
⎠
2 ⎟
U = I X , I = E m
, j = -arctg X C , X = 1
. (6.46)
Cm m C m
R C w C
Уравнение для свободного напряжения
u Cсв
и его общее решение сохраняют тот
же вид (6.33), (6.35), что и для цепи с источником постоянного напряжения:
- t
u Cсв = Ae t ,
где постоянная времени t = RC . На основании (6.45) и (6.46) получаем тогда
следующее выражение для переходного напряжения на ёмкости:
- t
u C = Ae t
+ U sin⎛w t +y - j -
⎝
Cm ⎜ e
p ⎞ . (6.47)
⎠
2 ⎟
Постоянная A в (6.47) определяется из начального условия, согласно которому
должна быть задана величина напряжения на зажимах конденсатора u C (0- ) до
включения цепи. Так как в докоммутационном режиме конденсатор не был заряжен, то
u C (0- ) = 0 и, следовательно,
u C (0-
) = u C
(0+
) = A + U Cm
sin⎛y
|
- j - p ⎞ = 0 и
⎠
2 ⎟
A = -U Cm
sin⎛y
|
- j - p ⎞ .
⎠
2 ⎟
Таким образом,
⎛ p ⎞
- t
u Cсв = -U Cm sin⎜y e - j -
⎝
⎟e t ,
2 ⎠
⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞ - t
u C = U Cm sin⎜w t +y e - j - ⎟ - U Cm sin⎜y e - j - ⎟e t . (6.48)
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Для тока в переходном процессе получаем
du U ⎛
p ⎞ - t
i = C C = I m sin(w t +y e - j )+ Cm sin⎜y e - j - ⎟e t . (6.49)
dt R ⎝ 2 ⎠
Графики изменения величин
u Cпр ,
u Cсв , u C
и e в переходном процессе,
построенные согласно формулам (6.45), (6.46) и (6.48), приведены на рисунке 6.8, б. Из анализа этих зависимостей следует, что, как и в случае индуктивной катушки, на характер переходного процесса в рассматриваемой цепи существенное влияние
оказывает фаза включения y e . Так, если y e = j ± p 2 , то согласно (6.48) u Cсв = 0 , т.е.
свободное напряжение при коммутации вообще не возникает и электрическая цепь сразу же переходит в стационарное состояние, при котором переходное напряжение на ёмкости равно установившемуся значению:
u C = U Cm sin w t .
Если включение происходит при
y e = j , то свободное напряжение
u Cсв
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 184; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!