Лекция 5. Трехфазные электрические цепи

5.1 Основные сведения о трехфазных электрических цепях

Трехфазной системой называют совокупность трех электрических цепей, источники ЭДС которых имеют одинаковую частоту, сдвинуты по фазе друг относительно друга и генерируются одним генератором. Трехфазная система ЭДС называется симметричной, если эти ЭДС синусоидальны, их частота и амплитуда

одинаковы и указанный фазовый сдвиг равен 2p 3 (120° ).

Источником энергии в трехфазной системе служит трехфазный синхронный генератор, модель которого схематически изображена на рисунке 5.1.

1 – статор, 2 – ротор

Рисунок 5.1 – Эскиз, поясняющий устройство трехфазного генератора

Генератор состоит из двух основных частей: статора и ротора. Неподвижный статор выполнен в виде полого ферромагнитного цилиндра, в продольные пазы которого уложены три обмотки — фазные обмотки генератора. Начала обмоток обозначают буквами A , B и C , концы обмоток — буквами X , Y и Z соответственно.

Обмотки сдвинуты в пространстве на один и тот же угол 2p 3, т.е. 120° .

Внутри статора расположен ротор, обмотка которого с помощью двух скользящих контактов подключена к источнику постоянного напряжения. Ротор, следовательно, является электромагнитом.

При равномерном вращении ротора турбиной создаваемое им магнитное поле

возбуждает в обмотках статора фазные ЭДС e A (t ), e B (t ) и e C (t ), частоты и амплитуды

которых одинаковы. Поскольку обмотки смещены по окружности статора на угол 120° ,

то генерируемые в этих обмотках ЭДС также имеют фазовый сдвиг 120° .

На схемах замещения обмотки статора трехфазного генератора изображают двумя способами (см. рисунок 5.2).

Рисунок 5.2 – Условные обозначения обмоток статора трехфазного генератора

⎝

⎠

Фазные ЭДС можно представить в аналитической форме:

e (t ) = E sin w t , e (t ) = E

sin⎛w t - 2p ⎞ , e (t ) = E

sin⎛w t - 4p ⎞ , (5.1)

A m B

m ⎜ 3 ⎟ C

m ⎜ 3 ⎟

⎝

⎠

где E m

— амплитудное значение ЭДС. Комплексы действующих значений фазных ЭДС

соответственно будут выглядеть так:

- j 2p

- j 4p

E& A = E ,

E&B = Ee 3 ,

E&C

= Ee

3 , (5.2)

где

E = E m

— действующее значение ЭДС.

Комплексное число

j 2p

e 3

= - 1 + j ,

2 2

по модулю равное единице, называется оператором трехфазной системы (фазным множителем) и обозначается

Тогда

j 4p

a = e

j 2p 3

. (5.3)

a2 = e 3 ,

a3 = e j 2p

= 1,

a4 = a3 × a = a ,

1 + a + a2 = 0 . (5.4)

Симметричную трехфазную систему ЭДС, определяемую формулами (5.2), можно записать с учетом (5.3), (5.4) в виде

B A

E& A = E ,

E& = a2E& ,

E&C

= a E& A . (5.5)

Временная и векторная диаграммы ЭДС, соответствующие формулам (5.1), (5.2)

и (5.5), представлены на рисунке 5.3.

а) б)

Рисунок 5.3 – Временная (а) и векторная (б) диаграммы фазных ЭДС

Из формул (5.1) следует, что в любой момент времени

e A (t )+ e B (t )+ e C (t ) = 0 . (5.6)

Из формул (5.2) также очевидно, что

E& A + E&B + E&C

= 0 . (5.7)

Совокупность трехфазной системы ЭДС, трехфазной нагрузки и соединительных проводов называется трехфазной электрической цепью. Каждая из однофазных цепей трехфазной системы называется фазой. На векторной диаграмме (рисунок 5.3, б) фаза B отстает от фазы A , а фаза C — от фазы B ; такое чередование фаз ABC называют прямой последовательностью, а чередование ACB — обратной.

5.2 Соединение фаз источника энергии в звезду и треугольник

Фазы обмоток трехфазного генератора могут быть соединены в звезду Υ

(рисунок 5.4, а) или в треугольник Δ (рисунок 5.4, б).

а) б)

Рисунок 5.4 – Схемы соединения фаз источника энергии в звезду (а) и треугольник (б)

При соединении в звезду концы фаз X , Y и Z объединяются в одну точку N (рисунок 5.4, а), которая называется нулевой (или нейтральной) точкой генератора. Нагрузку можно подключать к зажимам NA , NB , NC или AB , BC , CA .

Различают фазные

E& A ,

E&B ,

E&C

и линейные

E& AB ,

E&BC ,

E&CA

ЭДС, которые связаны

между собой (согласно 2-го закона Кирхгофа) выражениями

E& AB = E& A - E&B ,

E&BC = E&B - E&C ,

E&CA = E&C - E& A , (5.8)

из которых следует, что при симметрии фазных ЭДС ЭДС также симметрична:

E& A ,

E&B и

E&C

система линейных

E& AB + E&BC + E&CA = 0 . (5.9)

Соотношение между действующими значениями фазных E ф

следующее:

и линейных

E л ЭДС тогда

E л = 3E ф . (5.10)

При соединении фаз источника энергии в треугольник (рисунок 5.4, б) нагрузку подключают к зажимам AB , BC и CA . Действующие значения фазных и линейных ЭДС в таком случае оказываются равными:

E л = E ф . (5.11)

5.3 Соединение фаз нагрузки в звезду и треугольник. Определение линейных и фазных величин

Фазы нагрузки могут быть соединены в звезду Υ (рисунок 5.5, а) или в

треугольник Δ (рисунок 5.5, б).

При соединении в звезду концы фаз x , y и z объединяются в одну точку n (рисунок 5.5, а), которая называется нулевой (или нейтральной) точкой фазной нагрузки.

Провода Aa , Bb и Cc (см. рисунок 5.5), соединяющие трехфазный генератор с

нагрузкой, называются линейными проводами, а провод nN (рисунок 5.5, а), соединяющий нейтральные точки генератора и нагрузки — нейтральным (или нулевым) проводом.

Фазным напряжением

U& ф

называется напряжение на зажимах фазы генератора

(источника) или приемника (нагрузки), а также напряжение между нулевым и одним из линейных проводов в случае соединения фаз в звезду с нулевым проводом.

При соединении звездой (рисунок 5.5, а) фазными напряжениями генератора

являются напряжения U& A , U& B и U&C ; фазными напряжениями нагрузки — напряжения

U& a ,

U&b

и U& c . При соединении треугольником (рисунок 5.5, б) фазными являются

напряжения U& ab , U&bc и U& ca .

Линейным напряжением

U& л

называется напряжение между двумя линейными

проводами (между началами двух фаз).

Для обеих схем, изображенных на рисунке 5.5, напряжения являются линейными.

U& AB ,

U& BC

и U&CA

Фазным током

I&ф

называется ток, протекающий по фазе генератора или

нагрузки; линейным током

I&л

— ток, протекающий по линейному проводу.

а)

б)

Рисунок 5.5 – Схемы соединения фаз нагрузки в звезду (а) и треугольник (б)

При соединении звездой (рисунок 5.5, а) фазными являются токи

I&a ,

I&b ,

I&c ; при

соединении треугольником — токи

I&ab ,

I&bc ,

I&ca . Линейными для обеих схем соединения

являются токи

I&A ,

I&B ,

I&C .

5.4 Симметричная и несимметричная нагрузка в трехфазной цепи

Нагрузка в трехфазной электрической цепи подразделяется на симметричную и несимметричную. При симметричной нагрузке сопротивления фаз совпадают как по величине, так и по характеру:

Z a = Z b = Z c и j a = j b = j c , (5.12)

где

Z a ,

Z b ,

Z c — величины сопротивлений, j a , j b , j c — углы сдвига фаз между

напряжением и током. В комплексной форме условие симметричности фаз нагрузки будет выглядеть так:

Z a = Z b = Z c . (5.13)

Здесь

Z = Z e j j a ,

Z = Z e j j b

и Z = Z e j j c

— комплексы соответствующих

a a

b b

c c

сопротивлений.

Если хотя бы одно из условий (5.12) или условие (5.13) нарушается, нагрузку считают несимметричной. Различают следующие типы несимметричной нагрузки:

1) неоднородная и неравномерная (сопротивления фаз различны как по величине,

так и по характеру); Z a ¹ Z b ¹ Z c и j a ¹ j b ¹ j c ;

2) равномерная (сопротивления фаз равны по величине, но различны по

характеру); Z a = Z b = Z c , но j a ¹ j b ¹ j c ;

3) однородная (сопротивления фаз одинаковы по характеру, но отличаются по

величине); Z a ¹ Z b ¹ Z c , но j a = j b = j c .

5.5 Расчет трехфазной цепи при соединении фаз нагрузки в звезду

При соединении фаз нагрузки звездой (рисунок 5.6) линейные токи равны соответствующим фазным токам:

I&A = I&a ,

I&B = I&b ,

I&C = I&c , (5.14)

а комплексы линейных напряжений являются суперпозицией фазных:

U& AB = U& A - U& B ,

U& BC

= U& B - U&C ,

U&CA = U&C -U& A . (5.15)

Соотношения (5.14) также означают, что при соединении в звезду совпадают

действующие значения линейных

I л и фазных I ф

токов, т.е.

I л = I ф . (5.16)

5.5.1 Нагрузка симметричная

Если сопротивления соединительных проводов не учитывать, то из схемы

замещения трехфазной цепи (рисунок 5.6) следует, что напряжения

U& A ,

U& B ,

U&C на

фазах генератора и напряжения U& a , U&b , U& c

на фазах нагрузки идентичны:

U& a = U& A ,

U&b = U& B ,

U& c = U&C . (5.17)

Рисунок 5.6 – Схема соединения фаз генератора и нагрузки в звезду с нейтральным проводом

При этом в схеме образуются три обособленных контура, линейные

I&A ,

I&B ,

I&C (и

фазные

I&a ,

I&b ,

I&c ) токи в которых определяются на основании закона Ома:

I&A

= I&a

= U& a ,

Z a

I&B

= I&b

= U&b ,

Z b

I&C

= I&c

= U&c

Z c

. (5.18)

При симметричной системе фазных напряжений генератора

U& A ,

U& B ,

U&C и

симметричной нагрузке ( Z a = Z b = Z c ) эти токи также образуют симметричную

систему, поэтому ток нейтрального провода Кирхгофа, равен нулю:

I&nN , определяемый согласно 1-му закону

I&nN

= I&A + I&B + I&C = 0 . (5.19)

Это означает, что при симметричной нагрузке отпадает необходимость в

нейтральном проводе, поэтому вместо четырехпроводной схемы замещения трехфазной цепи (рисунок 5.6) можно использовать трехпроводную схему (рисунок 5.7).

Рисунок 5.7 – Схема соединения фаз генератора и нагрузки в звезду без нейтрального провода

Векторная диаграмма токов и напряжений для обеих схем представлена на рисунке 5.8.

Рисунок 5.8 – Векторная диаграмма токов и напряжений при симметричной нагрузке в трехфазной цепи, соединенной звездой

Из этой векторной диаграммы, а также из формул (5.5), следует, что при

симметричной нагрузке линейные напряжения

U& AB ,

U& BC ,

U&CA

опережают фазные

напряжения

U& A ,

U& B ,

U&C

(или

U& a ,

U&b ,

U& c ) по фазе на угол

30° . При этом

действующие значения фазных и линейных напряжений связаны равенством

U л = 3U ф , (5.20)

а комплексы этих напряжений — соотношениями

U& AB =

j p

3U& A e 6 ,

U& BC =

j p

3U& B e 6 ,

U&CA =

3U&C e

j p

6 . (5.21)

5.5.2 Нагрузка несимметричная

При несимметричной нагрузке между нейтральными точками генератора и

нагрузки возникает напряжение смещения нейтрали

U& nN

(см. рисунки 5.6 и 5.7). Это

напряжение может быть рассчитано по формуле метода двух узлов:

U& = U& A Y A + U& B Y B + U&C Y C , (5.22)

+ Y B

+ Y C

+ Y nN

где Y A , Y B , Y C

— комплексные проводимости фаз, Y nN

— комплексная проводимость

нейтрального провода. Если полные сопротивления ветвей фаз обозначить

Z A ,

Z B и

Z C , сопротивление нейтрального провода — Z nN , то указанные проводимости равны:

Y = 1 ,

Y = 1 , Y = 1 , Y = 1 . (5.23)

B C nN

Напряжения на фазах нагрузки могут быть рассчитаны согласно формулам

U& a = U& A - U& nN ,

U&b = U& B -U& nN ,

U&c = U&C -U& nN . (5.24)

Если сопротивления соединительных проводов не учитывать, то полные

сопротивления

Z A ,

Z B и Z C

ветвей фаз определяются фазными сопротивлениями

нагрузки

Z a , Z b

и Z c :

Z A = Z a ,

Z B = Z b ,

Z C = Z c . (5.25)

Сопротивление нейтрального провода в таком случае

Z nN

= 0 , а его

проводимость

Y nN

= ¥ . Из формулы (5.22) тогда следует, что при

Y nN = ¥ в

четырехпроводной схеме (рисунок 5.6) напряжение смещения

U& nN

= 0 , а значит

напряжения U& a , U&b , U& c согласно формулам (5.24) совпадают с напряжениями U& A , U& B ,

U&C , т.е. выполняются равенства (5.17). Следовательно, нейтральный провод

обеспечивает сохранение симметрии фазных напряжений

U& a ,

U&b ,

U& c

при

несимметричной нагрузке, и поэтому токи

I&A ,

I&B ,

I&C

могут быть рассчитаны согласно

формулам (5.18). Но, очевидно, что эти токи будут разными, поскольку комплексные сопротивления фаз при несимметричной нагрузке не равны между собой. Это в свою очередь приведет к появлению тока в нейтральном проводе:

I&nN

= I&A + I&B + I&C

¹ 0 . (5.26)

Векторная диаграмма токов и напряжений для трехфазной цепи с нейтральным проводом и несимметричной нагрузкой изображена на рисунке 5.9, а.

Если в схеме трехфазной цепи нейтральный провод отсутствует (рисунок 5.7), то

напряжение смещения

U& nN ¹ 0

и, следовательно, фазные напряжения генератора и

нагрузки не равны между собой:

U& a ¹ U& A ,

U&b ¹ U& B ,

U& c ¹ U&C .

Расчет такой цепи также может быть выполнен на основании формул (5.18), в

которых напряжения U& a , U&b , U& c

определяются согласно (5.22) – (5.24).

Векторная диаграмма токов и напряжений для трехфазной цепи с несимметричной нагрузкой и без нейтрального провода изображена на рисунке 5.9, б.

а) б)

Рисунок 5.9 – Векторная диаграмма токов и напряжений при несимметричной нагрузке в трехфазной цепи, соединенной звездой с нейтральным проводом (а)

и без нейтрального провода (б)

5.6 Расчет трехфазной цепи при соединении фаз нагрузки в треугольник

При соединении фаз нагрузки треугольником (рисунок 5.10) линейные напряжения равны соответствующим фазным напряжениям:

U& AB = U& ab ,

U& BC = U&bc ,

U&CA = U& ca , (5.27)

а комплексы линейных токов являются суперпозицией фазных:

I&A = I&ab - I&ca ,

I&B = I&bc - I&ab ,

I&C = I&ca - I&bc . (5.28)

Рисунок 5.10 – Схема соединения фаз генератора и нагрузки в треугольник

Соотношения (5.27) также означают, что при соединении в треугольник

совпадают действующие значения линейных U л

и фазных U ф

напряжений, т.е.

U л = U ф . (5.29)

Если сопротивления соединительных проводов в схеме замещения трехфазной

цепи не учитывать, то фазные токи

I&ab ,

I&bc ,

I&bc

определяются согласно закону Ома:

I& = U& ab ,

I& = U&bc ,

I& = U& ca , (5.30)

где

Z ab ,

Z bc

и Z ca

— комплексы фазных сопротивлений.

а) б)

Рисунок 5.11 – Векторная диаграмма токов и напряжений при несимметричной (а) и симметричной (б) нагрузке в трехфазной цепи, соединенной треугольником

Векторные диаграммы токов и напряжений при соединении фаз нагрузки в треугольник изображены на рисунке 5.11.

Из векторной диаграммы рисунка 5.11, б, а также из формул (5.28), (5.30) следует,

что при симметричной нагрузке фазные токи

I&ab ,

I&bc ,

I&ca

опережают линейные токи

I&A ,

I&B ,

I&C

по фазе на угол

30° . При этом действующие значения фазных и линейных

токов связаны равенством

I л =

3I ф , (5.31)

а комплексы этих токов — соотношениями

j p j p j p

I&ab = 3I&A e 6 , I&bc = 3I&B e 6 , I&ca = 3I&C e 6 . (5.32)

5.7 Мощность трехфазной цепи

В трехфазных цепях, так же как и в однофазных, пользуются понятиями активной, реактивной и полной мощностей.

В общем случае несимметричной нагрузки активная мощность трехфазного приемника равна сумме активных мощностей отдельных фаз:

P = P a + P b + P c , (5.33)

P a = U a I a cos j a , P b = U b I b cos j b , P c = U c I c cos j c , (5.34)

где U a , U b , U c

и I a , I b , I c — фазные напряжения и токи, j a , j b , j c — углы сдвига

фаз между напряжением и током.

Реактивная мощность соответственно равна алгебраической сумме реактивных мощностей отдельных фаз:

Q = Q a + Q b + Q c , (5.35)

где

Q a = U a I a sin j a ,

Q b = U b I b sin j b ,

Q c = U c I c sin j c . (5.36)

Полная мощность отдельных фаз:

S a = U a I a ,

S b = U b I b ,

S c = U c I c . (5.37)

Полная мощность трехфазного приемника:

S = . (5.38)

При симметричной нагрузке фазные мощности равны:

P a = P b = P c = P ф = U ф I ф cos j ф , Q a = Q b = Q c = Q ф = U ф I ф sin j ф . (5.39)

Активная мощность симметричного трехфазного приемника, следовательно,

P = 3U ф I ф cos j ф . (5.40)

Аналогично выражаются реактивная и полная мощности симметричного приемника:

Примечания

Q = 3U ф I ф sin j ф ,

S = 3U ф I ф . (5.41)

1 Формулы (5.33) – (5.41) дают правила определения активной, реактивной и полной мощности трехфазного приемника, соединенного звездой. В случае соединения треугольником расчет мощностей производится аналогично, т.е. через фазные

напряжения и токи, которые отмечаются двумя индексами: U ab , U bc , U ca

соответственно.

и I ab ,

I bc ,

I ca

2 Так как за номинальные величины обычно принимают линейные напряжения и

токи, то мощности удобнее выражать через линейные величины U л и соединении фаз симметричного приемника звездой

I л . Так при

при соединении треугольником

U л =

3U ф ,

I л = I ф ,

U л = U ф ,

I л =

3I ф .

Поэтому независимо от схемы соединения фаз приемника активная, реактивная и полная мощности при симметричной нагрузке определяются одними и теми же формулами:

P = 3U л I л cos j ф ,

Q = 3U л I л sin j ф .

S = 3U л I л . (5.42)

При этом следует помнить, что угол j ф

в формулах (5.42) является углом сдвига фаз

между фазными напряжением и током.

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 305; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 11 12 13 14 151617 18 19 20 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!