Основні теореми про послідовності, що збігаються
Теорема 3.1. | Послідовність, що збігається, має тільки одну границю. |
Теорема 3.2. | Послідовність, що збігається, обмежена. |
Теорема 3.3. | Границя алгебраїчної суми скінченого числа послідовностей дорівнює такій же алгебраїчній сумі границь кожної з послідовностей: . |
Теорема 3.4. | Границя добутку скінченого числа послідовностей дорівнює добутку границь цих послідовностей: . |
Теорема 3.5. | Постійну величину можна виносити за знак границі послідовності: . |
Теорема 3.6. | Границя відношення двох послідовностей і дорівнює відношенню границь кожної з послідовностей, якщо : , . |
Теорема 3.7. | Якщо для послідовностей {xn}, {yn} починаючи з деякого номера, виконується нерівність , то . |
Теорема 3.8. | (ознака існування границі послідовності) Якщо послідовність монотонна і обмежена, то вона має границю. |
Теорема 3.9. | Якщо для послідовностей {xn}, {yn}, {zn}, починаючи з деякого номера, виконується нерівність і , то послідовність {yn} збігається і . |
Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності
Серед функцій натурального аргументу особливе місце належить нескінченно малим і нескінченно великим послідовностям.
Послідовність хn називають нескінченно малою, якщо , тобто для будь-якого (навіть скільки завгодно малого) додатного числа знайдеться таке натуральне число , що для всіх буде виконуватися нерівність . |
|
|
Отже, члени послідовності {хn}, починаючи з певного номера і для всіх наступних номерів, необмежено наближаються до нуля.
Зауваження. | Не слід плутати нескінченно малу послідовність з досить маленьким числом. Дуже мала величина постійна, наприклад, 0,0001; 0,00003. Нескінченно мала послідовність – величина змінна і постійно зменшується. Ніяка постійна (окрім нуля) не може вважатися нескінченно малою. Окремі члени нескінченно малої числової послідовності можуть бути скільки завгодно великими. |
Наприклад, послідовність є нескінченно малою, оскільки при n, більшому, ніж, наприклад, числа 1010/e. Але окремі її значення , , не є малими числами.
Приклади нескінченно малих послідовностей: , , .
Властивості нескінченно малих послідовностей
1) | Нескінченно мала послідовність обмежена. |
2) | Сума скінченого числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю. |
3) | Добуток нескінченно малої послідовності на обмежену послідовність або на постійне число є нескінченно малою послідовністю. |
4) | Добуток скінченого числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю. |
|
|
Зауваження. | Відношення двох нескінченно малих величин може бути величиною скінченою, нескінченно малою і нескінченно великою. Відношення двох нескінченно малих величин є “невизначеністю” вигляду . | |
Теорема 3.10. | Для того, щоб послідовність {xn} збігалася до числа , необхідно і достатньо, щоб послідовність була нескінченно малою. | |
З теореми 3.10 витікає, що послідовність, що має границю, можна подати у вигляді суми постійної (границі а) і нескінченно малої:
.
Послідовність {xn} називають нескінченно великою, якщо для будь-якого (навіть скільки завгодно великого) числа , знайдеться такий номер N, що для всіх буде виконатися нерівність . |
Для позначення нескінченно великої послідовності {xn} використовують запис , або при .
Якщо, починаючи з деякого номера N, члени нескінченно великої послідовності набувають тільки від’ємних значень, то пишуть або при . Якщо, починаючи з деякого номера N, члени нескінченно великої послідовності набувають тільки додатних значень, то пишуть або при .
Зауваження. | Символ “ ” не є числом, тому нескінченно великі послідовності границі не мають. Але прийнято говорити, що нескінченно велика послідовність має нескінченну границю, щоб виділити її серед інших послідовностей, які не мають границі, але не є нескінченно великими. |
|
|
Зауваження. | Не слід плутати поняття дуже великої величини і нескінченно великої послідовності. Дуже велика величина є постійною, наприклад 1000000, 10010. Нескінченно велика – змінна. |
Приклади нескінченно великих послідовностей: , , .
Дата добавления: 2019-02-13; просмотров: 201; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!