Властивості функцій, які неперервні в точці
| 1) | Якщо функції  і  неперервні в точці  , то їх сума  , добуток  і частка   є функціями, неперервними в точці .
|
| 2) | Якщо функція  неперервна в точці і  , то існує такий окіл точки , в якому  .
|
| 3) | Якщо функція неперервна в точці  , а функція  неперервна в точці  , то складна функція  неперервна в точці .
|
| Функцію, яка неперервна в кожній точці деякої області (інтервалу, відрізку), називають неперервною в цій області (в інтервалі, на відрізку). |
Властивості функцій, що неперервні на відрізку
| 1) | Якщо функція неперервна на відрізку, то вона обмежена на цьому відрізку.
|
| 2) | Якщо функція неперервна на відрізку, то вона досягає на цьому відрізку найбільшого і найменшого значень.
|
| 3) | Якщо функція неперервна на відрізку  і значення на кінцях відрізку  і  мають протилежні знаки, то знайдеться точка  така, що  .
|
| Приклад 5.1. | Дослідити на неперервність у точці  функцію  . Побудувати графік функції.
|
Розв’язання. У точці функція не є неперервною, оскільки порушена перша умова неперервності – існування 
. Графік функції подано на рисунку 5.1.
Рисунок 5.1 – Графік функції
| Приклад 5.2. | Дослідити на неперервність у точці  функцію  . Побудувати графік функції.
|
Розв’язання. У точці функція не є неперервною, оскільки порушена друга умова неперервності – відсутня границя функції при 
, що прямує до , тобто 
. Проте існують однобічні границі функції ліворуч 
і праворуч 
. Границя існувала б у разі рівності однобічних границь. При цьому перша умова неперервності виконана, оскільки 
існує і 
.
|
|
|
Рисунок 5.2 – Графік функції .
| Приклад 5.3. | Дослідити на неперервність у точці функцію  . Побудувати графік функції.
|
Розв’язання. У точці функція не є неперервною, оскільки порушена третя умова неперервності – границя функції при х, що прямує до , не дорівнює значенню функції в точці , тобто 
. При цьому перша умова неперервності виконана, оскільки 
існує ( 
), друга умова неперервності виконана, бо існує границя функції при , щопрямує до , тобто 
.
Рисунок 5.3 – Графік функції .
| Приклад 5.4. | Дослідити на неперервність у точці функцію  . Побудувати графік функції.
|
Розв’язання. У точці функція неперервна, оскільки виконано всі три умови неперервності: 
. Графік функції подано на рисунку 5.4.
Рисунок 5.4 – Графік функції .
| Теорема 5.1. | Будь-яка елементарна функція є неперервною на своїй області визначення. |
| Зауваження. | Теорема 5.1 зокрема означає, що ціла раціональна функція (многочлен)  є неперервною для всіх  .
|
|
|
|
Класифікація точок розриву
Якщо хоч би одна з трьох умов означення неперервності функції не виконується, то функцію  називають розривною в точці  , а точку називають точкою розриву.
|
Точки розриву бувають першого, другого роду та усувні.
Точку розриву функції називають точкою розриву першого роду, якщо існують скінчені однобічні границі функції праворуч і ліворуч при  , що не дорівнюють одна одній, тобто
 .
|
Точку розриву функції називають точкою усувного розриву, якщо границя функції при існує, але не дорівнює значенню функції в цій точці, тобто
 .
|
| Точку розриву функції називають точкою розриву другого роду, якщо хоч би одна з однобічних границь функції праворуч або ліворуч при дорівнює нескінченності або не існує.
|
У розглянутих в пункті 5.1 прикладах функції мають такі точки розриву. В прикладі 5.1 в точці маємо розрив другого роду. В прикладі 5.2 в точці ‑ розрив першого роду. В прикладі 5.3 в точці маємо усувний розрив.
| Приклад 5.5. | Дослідити на неперервність у точці функцію  .
|
Розв’язання. У точці функція не визначена, отже, вона не є неперервною в цій точці. Для з’ясування типу точки розриву знайдемо однобічні границі:
|
|
|
, 
.
Оскільки одна з однобічних границь нескінченна, то є точкою розриву другого роду.
| Зауваження. | Якщо функція є неперервною всюди, окрім точки , де вона має усувний розрив, то функцію можна зробити неперервною, якщо довизначити її в точці . Функція  вже буде неперервною, тобто розрив в точці буде усунено.
|
Дата добавления: 2019-02-13; просмотров: 244; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!