Порівняння нескінченно малих функцій
Нехай 
і 
– нескінченно малі функції при 
, причому 
може бути як числом, так одним з символів 
. Тоді справедливі наступні означення.
Якщо  , то функцію називають нескінченно малою функцією вищого порядку мализни в порівнянні з функцією , а функцію називають нескінченно малою функцією нижчого порядку мализни в порівнянні з функцією .
|
Якщо  , то функцію називають нескінченно малою функцією нижчого порядку мализни в порівнянні з функцією , а функцію називають нескінченно малою функцією вищого порядку мализни в порівнянні з функцією .
|
Якщо  і  ,  , то функції та називають функціями одного порядку мализни.
|
Якщо  , то нескінченно малі функції і називають еквівалентними. Позначення:  .
|
Якщо  і , , то функцію називають нескінченно малою функцією  -го порядку мализни відносно нескінченно малої функції .
|
| Теорема 4.1. | Границя відношення двох нескінченно малих функцій не зміниться, якщо кожну з них або яку-небудь одну замінити еквівалентними ним. |
При обчисленні границь функцій зручно користуватися теоремою 17 і наступними основними еквівалентностями.
Основні еквівалентності при 
| Приклад 4.21. | Довести, що функції  і  при  є нескінченно малими одного порядку.
|
Розв’язання. Знайдемо границю відношення заданих функцій:
|
|
|
, 
Таким чином, дані функції є нескінченно малими одного порядку.
| Приклад 4.22. | Чи є еквівалентними функції  і  при ?
|
Розв’язання. Знайдемо границю відношення цих функцій:
.
Таким чином, функція 
є нескінченно малою вищого порядку, ніж функція тобто дані функції не є еквівалентними.
| Приклад 4.23. | Довести, що нескінченно малі функції  і  при є еквівалентними.
|
Розв’язання. Очевидно, що 
. Отже, і при x ® 0 є еквівалентними.
| Приклад 4.24. | Знайти  .
|
Розв’язання. При 
функція 
є нескінченно малою. Оскільки при заміні нескінченно малої функції 
еквівалентною їй функцією за теоремою 4.1. границя відношення не зміниться, то
.
| Приклад 4.24. | Знайти  .
|
Розв’язання. Оскільки при x®0 
, а 
і оскільки за теоремою 4.1 границя відношення не зміниться, то
.
| Приклад 4.25. | Знайти  .
|
Розв’язання. Тут чисельник і знаменник – нескінченно малі функції, проте, х не є нескінченно малою функцією, оскільки 
, а не до нуля. Введемо нескінченно малу 
, тоді 
. Маємо
.
Неперервність функції
Неперервність функції в точці і на відрізку
Функцію  , що визначена в деякому околі точки  , називають неперервною в точці , якщо:
1) вона визначена в точці , тобто існує  ;
2) існує границя функції при  , що прямує до , тобто існує  ;
3) ця границя дорівнює значенню функції в точці х0, тобто
 .
|
|
|
|
Наведемо означення неперервності функції, яке є еквівалентним попередньому, і засноване на понятті нескінченно малої величини. Дамо аргументу приріст 
, тоді функція 
отримає приріст
.
Функцію називають неперервною в точці , якщо вона визначена в цій точці і нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції , тобто
 .
|
| Зауваження. | Визначення неперервності функції в точці може бути записане так:
 ,
тобто для неперервної функції можлива перестановка символів границі і функції.
|
| Зауваження. | Друга умова неперервності функції означає зокрема, що
 .
|
Дата добавления: 2019-02-13; просмотров: 370; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!