Властивості нескінченно великих послідовностей

⇐ ПредыдущаяСтр 13 из 20Следующая ⇒

1)	Сума нескінченно великої послідовності і обмеженої є нескінченно великою послідовністю.
2)	Сума нескінченно великих послідовностей однакового знаку є нескінченно великою послідовністю.
3)	Добуток нескінченно великих послідовностей є нескінченно великою послідовністю.
4)	Добуток нескінченно великої послідовності на постійну величину, що не дорівнює нулю, є нескінченно великою послідовністю.
Зауваження.		Відношення двох нескінченно великих величин може бути величиною скінченою, нескінченно малою і нескінченно великою. Відношення двох нескінченно великих величин є “невизначеністю” виду .

Зв’язок між нескінченно великими і нескінченно малими послідовностями

Теорема 3.11.

Якщо {x_n} – нескінченно мала послідовність, то

– нескінченно велика послідовність. І навпаки, якщо {y_n} – нескінченно велика послідовність, то

– нескінченно мала послідовність.

Границя функції та її властивості

Розглянемо функцію , визначену на деякому проміжку . Нехай аргумент х приймає послідовність значень х₁, х₂,…, х_n,…, де . Відповідні значення функції утворюють послідовність у₁, у₂,…, у_n,..., де .

Означення границі функції за Гейне:

Число А називають границею функції

при

(або в точці х₀), якщо для довільної послідовності {x_n}, що збігається до х₀,відповідна послідовність значень функції {y_n} збігається до А.

Позначення: , або при .

Означення границі функції за Коші:

Число А називають границею функції

при х, що прямує до х₀, якщо для будь-якого (навіть скільки завгодно малого)

можна знайти таке число

, що як тільки

, то виконується нерівність

. (3.2)

Означення границі функції за Гейне і за Коші є еквівалентними.

Геометрична інтерпретація границі функції за Коші

Нехай дано графік функції , яка має границю, що дорівнює числу А при (рис.3.1.1). Для будь-якого наперед заданого додатного числа знайдеться окіл точки а радіусу такий, що частина графіка функції , що відповідає околу (а –d, а + d), міститься усередині смуги, обмеженої прямими у = А –e, у = А +e. Відзначимо, що в точці а функція може приймати значення, яке не дорівнює А, або взагалі може бути не визначена.

Рисунок 3.2 – Геометрична інтерпретація границі функції

Теорема 3.12.

Якщо функція

має границю

, то вона (границя) є єдиною.

Теорема 3.12 виходить з теореми 3.1, оскільки послідовність, що збігається, може мати тільки одну границю.

Приклад 3.4.

Довести, що

Розв’язання. Візьмемо яке-небудь число . Завдання полягає в тому, що за заданим числом знайти таке , для якого з нерівності
випливала б нерівність або .