Основні властивості векторного добутку векторів

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 20Следующая ⇒

1)	;
2)	;
3)	;
4)	векторний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектори колінеарні: ;
5)	.

Приклад 2.5.

Знайти синус кута між векторами

, а також площу паралелограма, побудованого на цих векторах.

Розв’язання. За формулою (2.11) обчислимо векторний добуток :

Довжину векторів , і знайдемо згідно (2.3):

, , .

З формули (2.11) маємо: .

Відповідно до означення векторного добутку площа паралелограма, побудованого на векторах і дорівнює .

Мішаний добуток векторів

Мішаним добуткомвекторів ,

називається скалярний добуток вектора

на вектор

Якщо , і , то мішаний добуток векторів у координатній формі має вигляд:

. (2.12)

Основні властивості мішаного добутку векторів

1)	;
2)	мішаний добуток трьох ненульових векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вони компланарні;
3)	модуль мішаного добутку дорівнює об’єму паралелепіпеда, що побудовано на даних векторах;

Рисунок 2.11 - Паралелепіпед, що побудовано на векторах , і .

Зауваження

Об’єм піраміди, яку побудовано на векторах

, дорівнює модулю змішаного добутку цих векторів, що поділено на 6.

Приклад 2.6.

Довести, що точки

лежать в одній площині.

Розв’язання. Знайдемо координати векторів, що виходять з точки : , , .

Доведемо, що ці вектори є компланарними, тобто належать одній площині. Для цього обчислимо мішаний добуток одержаних векторів:

Згідно другої властивості мішаного добутку вектори , і є компланарними, отже точки , , і лежать в одній площині.

Приклад 2.7.

Знайти об’єм піраміди

і довжину висоти

, яку опущено на грань

, якщо вершини

мають наступні координати:

Розв’язання. Знайдемо координати векторів, що виходять з вершини : , , .

Рисунок 2.12 - Піраміда, що побудована на векторах , , .

Обчислимо мішаний добуток одержаних векторів: . Отже, об’єм піраміди :

Для знаходження висоти обчислимо спочатку площу грані , як модуля векторного добутку векторів і :

Отже, площа трикутника дорівнює . Тоді з відомої формули маємо , звідки одержимо .

Пряма на площині

Розглянемо найпростішу лінію на площині – пряму. Існують різні форми запису рівняння прямої лінії на площині.

Нехай − пряма лінія на координатній площині. , − фіксована точка на , - ненульовий вектор , перпендикулярний до . Його називають нормальним вектором прямої.

Завдання точки і вектора повністю визначає пряму і таким чином можна задати будь-яку пряму лінію на площині. Довільна точка буде належати прямій тоді і тільки тоді, коли вектори і будуть взаємно перпендикулярними (рис. 2.13).

Рисунок 2.13 - Завдання прямої на площині.

Для цього, в свою чергу, необхідно і достатньо, щоб скалярний добуток цих векторів дорівнював нулю

. (2.13)

Оскільки , то можна виразити скалярний добуток через координати множників:

. (2.14)

Рівняння (2.14) є рівнянням прямої на площині в координатній формі. Відношення (2.14) називають ще рівнянням прямої, що проходить через задану точку в заданому напрямку.

Відношення

, (2.15) де

, визначає загальне рівняння прямої на площині.

Термін «загальне» пояснюють тим, що довільна пряма на площині може бути заданою рівнянням першого степеня відносно змінних і (при цьому коефіцієнти і не дорівнюють нулю одночасно, бо нормальний вектор прямої не нульовий).

Пряма лінія на площині – це геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють рівнянню першої степені відносно

Будь-яка пряма на площині визначається рівнянням першого ступеня відносно і . Будь-якому рівнянню першого ступеня відносно і відповідає пряма лінія в декартовій системі координат .

Відмітимо характерні випадки загального рівняння прямої, коли деякі коефіцієнти дорівнюють нулю.

1)	Нехай , тоді рівняння (2.15) має вигляд: де . Всі точки прямої мають однакову ординату, тобто пряма паралельна осі абсцис .
2)	Нехай , тоді . Пряма співпадає з віссю .
3)	Нехай , тоді рівняння (2.15) має вигляд: , де . Всі точки прямої мають однакову абсцису, тому пряма паралельна осі ординат .
4)	Нехай , тоді . Пряма співпадає з віссю .
5)	Нехай , тоді пряма незалежно від значень і проходить через початок координат т. .

Нехай . Розв’яжемо рівняння (2.15) відносно змінної :

або

. (2.16)

Рівняння (2.16) називають рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом і початковою ординатою.

Зміст коефіцієнтів у (2.16):

	‑ кутовий коефіцієнт прямої, − кут нахилу прямої до .
	− ордината точки перетину прямої з віссю , початкова ордината прямої (рис. 2.14).

Рисунок 2.14 - Пряма з кутовим коефіцієнтом

Рівняння

(2.17) називають рівнянням прямої, яка проходить через задану точку в заданому напрямку.

При фіксованій точці і різних значеннях це рівняння дає множину прямих, яку називають пучком прямих з центром в точці . Але тільки одну пряму з всіх, які проходять через , а саме пряму, перпендикулярну до осі абсцис, не можна визначити таким рівнянням. Її рівнянням буде .