Властивості лінійних операцій над векторами
1) | ; |
2) | ; |
3) | ; |
4) | ; |
5) | ; |
6) | ; |
7) | ; |
8) | ; |
9) | . |
Проекцією вектора на вісь є вектор , початком якого є точка - проекція точки на вісь , а кінцем – точка - проекція точки на вісь . Величиною проекції називають довжину вектору проекції із знаком «+», якщо напрямок вектору співпадає з напрямком осі , і довжину із знаком «-» у протилежному випадку. |
Рисунок 2.9 - Проекція вектора на вісь.
Основні властивості проекцій
1) | Проекції рівних векторів на вісь співпадають: якщо , то . |
2) | Проекція суми векторів на вісь дорівнює сумі проекцій доданків на цю вісь: . |
3) | Проекція добутку вектора на число дорівнює добутку проекції цього вектора на число: . |
4) | Величина проекції вектора на вісь дорівнює добутку модуля вектора на косинус кута між вектором і віссю . |
5) | ; |
6) | ; |
7) | ; |
8) | ; |
9) | . |
Позначимо через , , орти координатних осей (вектори одиничної довжини, що розташовані відповідно на осях , , і напрямок яких співпадає з напрямком осей).
Координатамивектора називають проекції цього вектора на координатні вісі. |
Нехай - вектор, що розглядається, - проекції вектору на координатні вісі:
, , .
Тоді можна записати формулу розкладення вектору за координатними осями:
. (2.1)
Після вибору в просторі декартової системи координат вектор і трійка його координат взаємно визначають один одне. Тому розкладення вектору зручно записувати у вигляді . Це запис вектора в координатній формі.
|
|
Якщо - координати точки , - координати точки , то координати вектору дорівнюють різницям відповідних координат його кінця і початку :
. (2.2)
Дії над векторами в координатній формі
1) | Координати суми двох векторів дорівнюють сумам відповідних координат цих векторів: . |
2) | Координати різниці двох векторів дорівнюють різницям відповідних координат цих векторів: . |
3) | Координати вектору дорівнюють координатам вектору , які помножено на число : . |
Модуль вектора дорівнює кореню квадратному з суми квадратів його координат:
. (2.3)
Приклад 2.1. | У просторі задані точки і . Знайти величину проекції вектора на вісь , якщо кут між ними складає . |
Розв’язання. Спочатку знайдемо координати вектору за формулою (2.2): .
За формулою (2.3) обчислимо модуль вектору :
.
За четвертою властивістю проекції вектора на вісь знайдемо величину проекції: .
Скалярний добуток векторів
Скалярним добутком векторів і називають число, що дорівнює добутку їхніх довжин на косинус кута між ними: . (2.4) |
Основні властивості скалярного добутку векторів
|
|
1) | ; |
2) | ; |
3) | ; |
4) | скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори ортогональні: ; |
5) | скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини: . |
Нехай вектори і задані своїми координатами і , тоді формула скалярного добутку векторів і у координатній формі має вигляд:
. (2.5)
З відношення (2.5) випливає формула косинуса кута між векторами:
, (2.6)
або у координатній формі з урахуванням відношень (2.3) і (2.5):
. (2.7)
Проекція вектора на вектор , тобто , у координатній формі має вигляд
. (2.8)
Оскільки орти декартової системи мають координати , , , то з формули (2.7) для будь-якого вектору , одержимо наступні формули косинусів кутів з координатними осями або направляючі косинуси вектору :
,
, (2.9)
,
де - кути, що складаються вектором з осями .
Приклад 2.2. | Знайти , якщо |
|
|
Розв’язання. .
Приклад 2.3. | Знайти кут між векторами і , якщо . |
Розв’язання. Маємо , , звідки з урахуванням (2.3) і (2.5) знаходимо: , , , , .
Приклад 2.4. | Знайти кут між векторами і , якщо . |
Розв’язання. Маємо , , звідки з урахуванням (2.3) і (2.5) знаходимо: , , , , .
Векторний добуток векторів
Векторним добутком вектору на вектор називають вектор , що задовольняє умовам: вектор перпендикулярний кожному із векторів і , отже, площині, в якій вони розташовані; вектор спрямований так, що, якщо дивитись з його кінця, то найкоротший поворот від першого вектора до другого вектора відбувається проти годинникової стрілки; довжина вектора чисельно дорівнює площі паралелограма, який побудовано, на векторах і , як на сторонах: . (2.10) |
Рисунок 2.10 - Векторний добуток векторів.
Векторний добуток в координатній формі:
(2.11)
Дата добавления: 2019-02-13; просмотров: 236; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!