Основні властивості множення матриці на число

1)	;
2)	.

За правилом множення матриці на число індексують економічні показники, приводячи їх до порівнянного виду. Наприклад, щоб виразити запаси тканин в порівнянних цінах, всі значення множать на індекс цін.

 

Розмірність матриці при множенні її на число не змінюється.

 

Наприклад, якщо , то .

2.	Додавання та віднімання матриць

 

Щоб додати (відняти) дві матриці одного порядку, необхідно додати (відняти) всі відповідні елементи цих матриць (елементи з однаковими індексами): .

 

Основні властивості додавання та віднімання матриць

1)	;
2)	;
3)	;
4)	;
5)	;
6)	.

 

Наприклад, для матриць  і   розмірності  сума та різниця мають вид:

, .

За допомогою правила додавання матриць формують різноманітні накопичувані відомості та таблиці.

 

3.	Множення матриць

 

 

Матрицю  можна помножити на матрицю  і обчислити добуток матриць  тільки у випадку узгодженості цих матриць.

 

Матрицю  називають узгодженою з матрицею , якщо кількість стовпців матриці  дорівнює кількості рядків матриці .

 

Наприклад, матриці  і  є узгодженими тому, що матриця  містить три стовпці, а матриця  ‑ три рядки.

 

 

Зауваження.

Узгодженість матриці  з матрицею  не передбачає виконання умови узгодженості матриці  з матрицею .

 

Таким чином, перемножити дві матриці можна тільки тоді, коли кількість стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої. Узгодження розмірностей матриць-множників і матриці добутку можна подати за допомогою наступної схеми:

Отже, в результаті множення матриці  на матрицю  одержуємо матрицю , кількість рядків в якій дорівнює кількості рядків  матриці , а кількість стовпців ‑ кількості стовпців  матриці , тобто матриця  має розмірність .

Якщо перемножуються квадратні матриці  і  однакової розмірності, то їх добуток  є матрицею тієї ж розмірності.

 

Щоб знайти елемент  добутку , який міститься в -му рядку і -му стовпці, необхідно знайти суму добутків елементів -го рядка матриці  на елементи -го стовпця матриці : .

 

 

Основні властивості множення матриць

1)	;
2)	, ;
3)	, ;
4)	;
5)	;
6)	;
7)	.

 

Приклад 1.1.

Перевірити узгодженість і знайти добуток матриць  і , якщо , .

 

Розв’язання. Розмірності матриць-множників:  ‑ ,  ‑ . Вони визначають виконання умови узгодженості матриці  з матрицею . Тобто добуток  існує і має розмірність . Проведемо обчислення добутку матриць  і :

 

Зауважимо, що у даному випадку  не існує, бо матриця  не є узгодженою з матрицею .

 

 

Приклад 1.2.

Знайти добутки  та  матриці-рядка  і матриці-стовпця .

 

Розв’язання. Очевидно, що матриця  узгоджена з матрицею , і навпаки матриця  є узгодженою з матрицею .

;

.

Отже, у першому випадку добуток є матрицею розмірності , а у другому - це матриця порядку , тобто скалярна величина.

 

 

Зауваження.

Добуток двох ненульових матриць може дорівнювати нульовій матриці, тобто з того, що , не випливає, що , або .

 

Наприклад, , , але .

 

Для знаходження цілого додатного степеня  квадратної матриці  слід знайти добуток  матриць : .

 

Наприклад, для обчислення , де  потрібно знайти добуток .

 

Зауваження.

Операція піднесення до степеня визначається тільки для квадратних матриць.

 

4.	Транспонування матриці

 

Щоб транспонувати матрицю , треба поміняти місцями її рядки зі стовпцями. Транспоновану матрицю позначають символом . Якщо вихідна матриця  має розмірність , то розмірність транспонованої матриці  буде .

Основні властивості транспонування матриці

1)	;
2)	, якщо  − діагональна;
3)	;
4)	.

Наприклад, якщо , то .

 

Приклад 1.3.

Для матриць , ,  знайти .

 

Розв’язання. Запишемо транспоновану матрицю . Тоді

.

5.	Знаходження оберненої матриці

 

Матрицю , яка задовольняє співвідношенням: , ,                           (1.1) називають оберненою матрицею до матриці .

 

 

Зауваження.

Зрозуміло, що матриця  повинна бути квадратною, щоб її можна було зліва та справа помножити на .

 

---

Дата добавления: 2019-02-13; просмотров: 224; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!