Границя послідовності та її властивості
Першу спробу створити теорію границь зробив Ньютон у 1686 р., хоча операція граничного переходу застосовувалася і раніше, починаючи із старогрецьких учених. Близьке до сучасного поняття границі сформулював у 1765 р. французький математик і філософ Ж. Даламбер.
Якщо кожному натуральному числу поставлене у відповідність деяке дійсне число хn, то говорять, що задано послідовність чисел х1, х2, …, хn, … Інші позначення: {хn}, хn.
Числовою послідовністю , (n = 1, 2,...) називають множину значень функції , яку визначено на множині натуральних чисел. Числа х1, х2,… називають членами (елементами) послідовності, – загальним членом послідовності, n – номером члена послідовності. |
Наприклад, розглянемо послідовність . Загальний член її ‑ . Перші п’ять членів такі: х1= 1, х2 = , х3 = , х4 = , х5 = .
Наприклад, членами послідовності є числа
Прикладом послідовності є нескінченно спадаюча геометрична прогресія , де .
Число а називають границею послідовності {хn}, якщо для будь-якого наперед заданого (навіть скільки завгодно малого) числа знайдеться такий номер , що для всіх буде виконуватися нерівність . (3.1) |
Для позначення границі послідовності {хn} використовується запис: = а, або при .
Інтервал виду , де , називають e -окілом точки а.
Геометрична інтерпретація границі послідовності. Якщо а – границя послідовності {хn}, то для будь-якого (навіть скільки завгодно малого) можна знайти такий номер , що при всі члени послідовності попадуть в e-окіл точки а. Інакше кажучи, для будь-якого околу з центром в точці а, навіть скільки завгодно малого радіусу e, знайдеться таке значення хn, що точки, що зображають ці значення, і всі подальші значення послідовності {хn}, потраплять в цей окіл (рис.3.1). Таким чином, зовні e-околу точки а може лежати лише скінчене число членів послідовності {хn}.
|
|
Рисунок 3.1 – Геометрична інтерпретація границі послідовності
Послідовність називають збіжною, якщо вона має границю, якщо послідовність границі не має, то вона називається розбіжною. |
Послідовність може прямувати до своєї границі різними способами:
залишаючись менше своєї границі;
залишаючись більше своєї границі;
коливаючись біля своєї границі.
Числову послідовність називають зростаючою, якщо кожен наступний член послідовності більше попереднього, тобто . |
Приклади зростаючих послідовностей: , .
Числову послідовність називають спадаючою, якщо кожен наступний член послідовності менше попереднього, тобто . |
|
|
Приклади спадаючих послідовностей: , .
Монотонними послідовностями називають зростаючі і спадаючі послідовності. |
Послідовність називають обмеженою, якщо існує число таке, що для всіх значень n = 1,2,... виконується нерівність . |
Приклади обмежених послідовностей: , , ; необмежених послідовностей: , , .
Дата добавления: 2019-02-13; просмотров: 166; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!