Частинні похідні та повний диференціал



Дотепер ми розглядали функції, які мали один аргумент.

 

  Нехай кожній точці  з деякої області  площини  відповідає єдине дійсне значення  за певним правилом: .                                 (7.1) Тоді відповідність (7.1) називають функцією двох змінних, а множину значень , для якої вона має сенс, називають її областю визначення функції.

Для функції двох змінних область визначення, взагалі кажучи, є деякою областю площини . А графічне зображення самої функції (7.1) визначає, взагалі кажучи, деяку поверхню в трьохвимірному просторі .

Аналогічно можна ввести в розгляд функцію декількох змінних.

Розглянемо функцію  і точку  з області її визначення. Станемо змінювати координату , залишаючи значення  постійним. В результаті отримаємо функцію  від однієї змінної .

Надамо величині  приросту  таким чином, що точка  теж буде належати області визначення функції (7.1). Складемо різницю

,

яку називають частинним приростом функції (7.1) по аргументу  в точці .

 

  Якщо існує скінченна границя , то її називають частинною похідноювід функції  по її аргументу  в точці  і позначають .

 

Аналогічно вводимо частинний приріст функції по аргументу  в точці :

.

 

  Якщо існує скінчена границя , то її називають частинною похідною від функції  по її аргументу  в точці  і позначають    .

 

Правило обчислення частинних похідних: частинні похідні обчислюють за відомими правилами диференціювання функції однієї змінної; при обчисленні  вважають  постійною величиною; при обчисленні  постійним слід вважати .

Приклад 7.1. Знайти частинні похідні функцій: а) ; б) ;   в) .

Розв’язання. а) , ;

б) , ;

в) , .

Геометричний зміст частинних похідних функції :  

Частинна похідна  дорівнює тангенсу кута, який утворює дотична до кривої  в точці  з віссю .
Частинна похідна  дорівнює тангенсу кута, який утворює дотична до кривої  з віссю .

 

Крива  визначається як перетин поверхні  площиною , а крива  є перетином цієї поверхні площиною .

 

  Розглянемо функцію  змінних . Частинною похідною  називають звичайну похідну по змінній  від функції, яку отримують наданням всім іншим змінним сталих значень.

 

Приклад 7.2. Визначити частинну похідну функції  за змінною .

Розв’язання. .

 

  Частинні похідні  і  називають частинними похідними першого порядку. Вони самі є функціями двох змінних і в свою чергу можуть мати частинні похідні. По відношенню до вихідної функції (7.1) похідні від похідних називають частинними похідними другого порядку. Їх позначають , . Похідні від частинних похідних другого порядку називають частинними похідними третього порядку.

 

Аналогічно визначають частинні похідні будь-якого порядку. Частинну похідну порядку вище першого по різним змінним називають змішаною.

 

Приклад 7.3. Обчислити частинні похідні другого порядку функції .

 

Розв’язання. Визначимо спочатку частинні похідні першого порядку:

,   .

Частинні похідні другого порядку мають вигляд:

, , , .

Порівнюючи змішані похідні, бачимо, що вони співпадають: .  Цей факт не є випадковим.

Теорема 7.1. (про змішані похідні) Нехай функція  має неперервні змішані частинні похідні, тоді .

 

 

Справедливим також є наступний факт: дві неперервні частинні похідні одного порядку, що відрізняються лише порядком виконання операцій диференціювання, але не кількістю цих операцій для кожного з аргументів, будуть рівними між собою.

Таким чином, значення будь-якої змішаної частинної похідної елементарної функції не залежить від порядку диференціювання.

Наприклад,

.

 


Дата добавления: 2019-02-13; просмотров: 311; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!