Похідні функцій, заданих у параметричній, неявній формах, логарифмічне диференціювання

Розглянемо функцію, задану параметрично:

Нехай функції  і  диференційовані і , тоді похідна  має вигляд:

.                                   (6.2)

 

Приклад 6.5.

Знайти похідну  функції, заданої параметрично .

 

Розв’язання. За формулою (6.2) маємо:

.

Нехай функцію  задано неявно відношенням:

Для знаходження похідної  потрібно продиференціювати , вважаючи  функцією аргументу .

 

Приклад 6.6.

Знайти похідну  функції , яку задано неявно відношенням

 

Розв’язання. Продиференціюємо рівняння, що задає функцію :

.

Винесемо  за дужки:

,

Тоді похідна

.

Нехай функцію  задано у вигляді  для знаходження похідної  доцільно провести попереднє логарифмування функції, а потім знайти похідну неявної функції:

,

,

.

Це формула логарифмічного диференціювання.

 

Приклад 6.7.

Знайти похідну функції .

Розв’язання. Прологарифмуємо рівність:  та визначимо похідну неявної функції .

Тоді , тобто .

 

Зауваження.	Логарифмічне диференціювання застосовують, коли функція є добутком багатьох множників.
Приклад 6.8.	Знайти похідну функції .

Розв’язання. Знайдемо логарифм функції :

.

Визначимо похідну отриманої неявної функції:

Отже, .

Диференціал функції однієї змінної

Нехай функція  має похідну в точці , тобто існує границя (6.1). Тоді (6.1) можна записати наступним чином:

,                                 (6.3)

де  – нескінченно мала величина, тобто  при .

З відношення (6.3) випливає, що приріст функції  у точці  можна записати у вигляді:

.                              (6.4)

 

Диференціалом функції  в точці  називають головну лінійну частину приросту функції. Його позначають .                             (6.5)

 

Приклад 6.9.

Знайти диференціал функції .

 

Розв’язання. З формули (6.5) маємо: .

Отже, доведено рівність

.                                         (6.6)

За допомогою відношення (6.6) рівняння (6.5) стає таким:

.                                     (6.7)

Форма запису (6.7) диференціала функції дозволяє представити похідну як відношення диференціала функції до диференціала аргументу:

.                                    (6.8)

Геометричний зміст диференціала

Побудуємо на площині  графік функції . В точці  проведемо дотичну  до графіка функції (рис. 6.6).

Рисунок 6.6 – Ілюстрація геометричного змісту диференціала

 

З трикутника  маємо: .

Таким чином, диференціал функції  в точці  дорівнює приросту ординати дотичної до графіка цієї функції в точці .

 

Нехай  – стала величина,  і  – диференційовані в точці  функції, тоді безпосередньо з визначення диференціала випливають наступні властивості.

 

Властивості диференціала:

1)	;
2)	;
3)	;
4)	;
5)	.

 

Інваріантність форми диференціала першого порядку

Нехай  і  – диференційовані функції. Розглянемо диференціал складної функції :

.                 (6.9)

Формула (6.9) доводить цікавий факт: форма запису диференціала  не залежить від того, чи буде  незалежною змінною або функцією іншої змінної.

У зв’язку з цим цю властивість називають інваріантною формою запису диференціала.

Приклад 6.9.

Знайти диференціали функцій , , .

 

Розв’язання. За визначенням диференціала маємо:

, , .

ДИФЕРЕНЦІЙОВАНІСТЬ ФУНКЦІЇ

БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

---

Дата добавления: 2019-02-13; просмотров: 199; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!