Задачи для самостоятельной работы

 

1. Представить вектор c = (1,2,3) в виде линейной комбинации векторов a = (3,4,5) и b = (5,6,7).

2. Доказать свойства линейной зависимости.

3. Доказать, что система векторов, содержащая одинаковые векторы, является линейно зависимой системой.

4. Доказать, что базисом линейно независимой системы векторов является сама эта система.

5. Доказать, что если к линейно независимой системе векторов добавить вектор, который не выражается через эту систему, то полученная система векторов линейно независима.

6.  Выяснить, линейно зависима ли система векторов:

а) ℓ₁=(1,2,3), ℓ₂=(2,1,2), ℓ₃=(0,3,4); б) ℓ₁=(3,2,1), ℓ₂=(2,1,2), ℓ₃=(5,4,1).

7. Найти ранг и базис системы векторов:

а) ℓ₁=(2,2,3), ℓ₂=(3,1,2), ℓ₃=(1,3,4); б) ℓ₁=(0,2,1), ℓ₂=(1,1,2), ℓ₃=(5,4,1).

8. Определить, какое максимальное число векторов может быть в линейно независимой подсистеме следующей системы векторов: , , , .

9. Выяснить, является ли система векторов векторного пространства Т³(R) линейно зависимой: 

а) a = x+x² + 2x³, b= 2+ x+2x² + 2x³ , c= 4+3x+5x² + 6x³;

б) a = 2+x² + 2x³, b= 3+ x+2x² + 2x³ , c= 4+2x+6x² + 8x³.

10. Показать, что множество векторов вида  является подпространством арифметического векторного пространства R , найти его базис и размерность.

11. Доказать: в n-мерном пространстве существуют подпространства размерности от 0 до n.

 

Конечные поля.

 

Практически все рассматриваемые ранее примеры полей – это бесконечные поля: поле рациональных чисел Q, поля действительных и комплексных чисел, поле Q( )= {а + b | а, b Î Q}. Как следует из определения поля, оно должно содержать как минимум 2 элемента: 0 – нейтральный по сложению, и 1 – нейтральный по умножению.

Пример 1. Приведем пример наименьшего по мощности конечного поля, содержащего ровно 2 элемента. Это поле F₂={0, 1} с операциями + и · , задаваемыми таблично:

 

+	0	1
0	0	1
1	1	0

 

×	0	1
0	0	0
1	0	1

Первая строчка и столбец таблицы для операции + заполняются с учетом того, что 0 – нейтральный. Получим: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1. Последняя свободная клетка определяется из соотношения 1 ¹ 0, откуда следует 1 + 1 ¹ 0 + 1. Действительно, если верно было бы равенство, то прибавляя к обеим его частям -1, получили бы 1 = 0. Итак, 1 + 1 ¹ 0 + 1, то есть 1 + 1 ¹ 1. Отсюда получаем, что 1 + 1 = 0.

Для заполнения таблицы второй операции воспользуемся тем, что в поле (как и в любом кольце) при умножении на 0 получаем 0. Последняя свободная клетка заполняются с учетом того, что 1 – нейтральный для операции ·, поэтому 1 · 1 = 1.

Проверку, что выполняются все аксиомы поля, предоставим читателю.

Дадим еще одно определение поля, эквивалентное определению, данному ранее.

Поле – это коммутативное кольцо с единицей 1, отличной от нуля 0, в котором каждый ненулевой элемент обратим. Таким образом, некоторые из известных нам колец также могут удовлетворять аксиомам поля.

Теорема 8.1 . Кольцо классов вычетов по модулю m (Z_m, +, ·) является полем тогда и только тогда, когда m – простое число. □

Поле, приведенное в примере 1, - это поле классов вычетов по модулю 2. Кроме того, мы можем указать поле, содержащее ровно 3, 5, 7, 11,… элементов – это поле классов вычетов по соответствующему простому модулю.

Пример 2. Покажем, что кольцо классов вычетов Z ₄={0, 1, 2, 3} полем не является. 4-число составное, его можно представить в виде произведения двух меньших чисел, и тогда в Z ₄ получим: 2· 2=4(mod4)=0, а в поле нет делителей 0.

Характеристика поля.

Чтобы выяснить, какие еще конечные поля существуют, введем понятие характеристики поля.

Пусть (К, +, ×) – кольцо с единицей 1.

Кольцо К, в котором для любого натурального n, n-кратное единицы не равно нулю, называется кольцом характе­ристики 0. В этом случае будем писать char К = 0.

Любое кольцо (а в частности, и поле) характеристики 0 содержит бесконечное число элементов, потому что элементы 1, 1+1, 1+1+1,… принадлежат кольцу и являются различными. Действительно, если предположить, что какие-либо два элемента такого вида равны, например, 1+1=1+1+1+1+1, то получим 0=1+1+1. Итак, 3-кратное 1 равно 0, что противоречит определению кольца характеристики 0.

Кольцо К, в котором для некоторого натурального n , n-кратное единицы равно 0, называется кольцом конечной характеристики. Наименьшее натуральное s такое, что s 1 = 0, называется характеристикой кольца К.В этом случае пишут charK = s . Заметим, что здесь запись s 1 обозначает s-кратное единицы, то есть сумму единиц 1+1+…+1, в которой s слагаемых.

Теорема 8.2 . Характеристика поля либо 0, либо простое число.

Доказательство. Пусть E – поле, и char E = m. Если m=0, то теорема верна. Пусть m¹0. Докажем, что в этом случае число m – простое.

Методом от противного, предположим, что m – число составное, то есть m=s · t для некоторых s и t , меньших m. Тогда s1¹0 и t1¹0, так как m – наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию m1=0 (см. определение характеристики кольца).

Рассмотрим произведение:

s1· t1 = · = = m1 = 0.

Проводя преобразования, мы использовали для раскрытия скобок дистрибутивный закон, выполняющийся в любом поле. Однако в поле нет делителей нуля, а мы получили, что произведение двух ненулевых элементов в итоге даёт 0. Полученное противоречие доказывает утверждение. □

Следствие. Характеристика конечного поля – простое число. □

 

Простое подполе.

Поле, не содержащее подполей, кроме самого себя, называется простым полем.

В частности, для любого простого числа p кольцо классов вычетов по модулю p (Z_p,+, ·) является простым полем. Действительно, если предположить, что Z_p имеет некоторое подполе Е, то Е должно содержать 0 и 1 поля Z_p, и в силу замкнутости операции +, также должно содержать 1+1, 1+1+1, …, то есть все элементы исходного поля Z_p.

Поля комплексных и действительных чисел не являются простыми, так как содержат в себе подполе Q рациональных чисел. Поле Q является простым.

Пусть теперь F – некоторое поле. Известно, что пересечение любого семейства подполей поля F является подполем этого поля. В частности, пересечение E всех подполей поля F есть наименьшее подполе поля F. Поле E не содержит никаких подполей, отличных от него самого, а значит, является простым. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 8.3. Всякое поле содержит в себе единственное простое подполе. □

Как устроено простое подполе конечного поля F? Определим его структуру.

Так как F – конечное поле, то его характеристика charF = р, где р –некоторое простое число. Пусть E – его простое подполе. Как любое подполе, E обязано содержать 0 и 1 поля F. В силу замкнутости операции +, подполе E также должно содержать различные элементы: 1+1, 1+1+1, и так далее до (p-1) – кратного 1. Далее элементы будут повторяться, так как p1 = 0. Напомним: последнее равенство означает, что p-кратное 1 равно 0. Итак, в поле E содержится как минимум p различных элементов: 0, 1, 1+1, 1+1+1, …, (p-1)1.

Нетрудно увидеть взаимно-однозначное соответствие между элементами известного нам поля классов вычетов Z_p и указанными элементами поля E. Отображение обозначим символом μ и зададим следующим образом: .

Отображение μ является биекцией и сохраняет обе операции, так как сложение и умножение в выделенном множестве элементов поля Е выполняются по модулю p, то есть так же, как в Z_p. Значит, отображение  μ является изоморфизмом полей. Получили, что выделенное нами множество элементов поля E образует поле, изоморфное полю Z_p. Однако поле E – простое (не содержит подполей), и поэтому никаких других элементов в нём нет, имеем: Е изоморфно Z_p. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 8.4. Пусть F – конечное поле характеристики р (р –простое число). Тогда F содержит простое подполе, изоморфное Z_p. □

 

Расширение поля.

 

Запись Р ≤ F будет означать, что P – подполе поля F .

Определение.Если Р ≤ F , то говорят также, что F – расширение поля Р.

Если Р ≤ F , то F можно рассматривать как векторное пространство над полем Р:сложение векторов в F –это сложение, заданное в поле F , действие скаляров из поля Р на векторы из F –умножение, заданное в F .

Очевидно, что ("a, b Î F)("a Î P)(a + b Î F, a a Î F).

 Легко проверить все ранее сформулированные аксиомы векторного пространства:

1. (F, +) – абелева группа.

2. ("a, b Î F)("a Î Р) (a(a + b)= a a + a b).

3. ("a Î F)("a, b Î P) ((a + b)a = a a+ b a).

4. ("a Î F)("a , b Î P) ((a b)a = a (b a)).

5. ("a Î F) (1 a = a).

К примеру, поле комплексных чисел C является расширением поля действительных чисел R , а значит, является векторным пространством над полем R . При этом элементы 1 и i образуют базис пространства C над полем R. Любое комплексное число единственным образом представляется в виде линейной комбинации элементов базиса: a*1+b*i, где коэффициенты a и b из поля R.

Определение.Пусть F –расширение поля Р, М –подмножество поля F . Пересечение всех подполей поля F, содержащих Р и М, называют расширением поля Р, порожденным множеством М. Его обозначают через Р(М). Множество М называют порожда­ющим множествомрасширения Р(М).

Из этого определения следует, что Р(М)есть наименьшее из под­полей поля F, содержащее поле Р и множество М.

Расширение, порожденное элементами a ₁ , ..., a _s , будем обозначать символом P(a ₁, ..., a _s).Расширение, порожденное одним элементом a называется простым расширениеми обозначается Р(a).

Рассмотрим примеры.

1. Q( ) = {a + b | a , b Î Q}.

Докажем равенство двух множеств. Сначала покажем, что выполняется включение Q( )Í {a + b | a , b Î Q}. Символом Q( ) обозначено наименьшее из всех полей, содержащее поле Q и . Множество, стоящее в правой части равенства, является полем, причём оно содержит все элементы поля Q (положим b =0, a -любое) и (положим a =0, b =1). Так как Q( ) – наименьшее поле с такими свойствами, то включение верно.

Теперь покажем, что выполняется обратное:{a + b | a , b Î Q} Í Q( ). Очевидно, что a, b, Î Q( ) по определению. Далее, в силу замкнутости умножения, элемент b Î Q( ), ив силу замкнутости сложения, элемент a+b Î Q( ). Значит, выполняется и обратное включение. □

2. Рассмотрим два последовательных расширения поля Q сначала с помощью элемента , а затем получим расширение поля Q( )с помощью элемента .

Ранее доказано, что Q( )= {а + b | а, b Î Q}. По аналогии можно доказать, что Q( )( ) = {а + b | а, b Î Q( )}.

Замечание. Q( )( ) можно получить как расширение Q одним числом . Для этого достаточно доказать равенство:

Q( )( ) = Q( + ).

Теорема 8.5 .Порядок конечного поля характеристики р (p – простое) равен числу р ⁿ для некоторого n Î N.

Доказательство. Порядок конечного поля (или мощность) – это количество его элементов. Пусть F – конечное поле характеристики р. Тогда по теореме 8.4 F имеет простое подполе E, изоморфное Z_p.

Если F = E, то çF÷= p, и теорема доказана.

Если F ¹ E, то F является расширением поля E, и на F можно смотреть как на векторное пространство над полем E. Пусть e₁, e₂,…,e_n – базис векторного пространства F над полем E. Тогда имеем:

F = {a₁e₁+a₂e₂+…+a_ne_n|где a_iÎE}.

Учитывая, что каждый коэффициент a_i может принимать p различных значений, получим: çF÷= pⁿ, что и требовалось доказать. □

Следующая теорема утверждает существование конеч­ного поля заданного порядка и решает вопрос о его единственности.

Теорема 8.6. Для любого простого числа р и любого нату­рального числа n существует поле порядка р ⁿ . Любые два поля порядка р ⁿ изоморфны. □

Поскольку любые два поля порядка q = pⁿ изоморфны, мы можем и будем использовать для обозначения таких полей один и тот же символ  или .

Далее выясним строение мультипликативной группы конечного поля , которую будем обозначать . Она состоит из всех элементов поля, кроме 0.

Мультипликативная группа конечного поля.

 

Пусть – группа и . Возьмем множество . Нетрудно убедиться в том, что Н – подгруппа группы G . Н на­зовем циклической подгруппой, порожденной элементом g.

Введем обозначение . Элемент  будем называть образу­ющим (порождающим) группу Н.

Если Н = G, то группа G является циклической, порожденной элементом g. Если элементg бесконечного порядка, то группа G – бесконечная циклическая группа. Если порядок элемента g есть натуральное число d , то циклическая группа  также будет иметь порядок d  и состоять из элементов: ágñ={1, g, g²,…,g^d-1}. Приведём критерий циклической группы, несложное доказательство предоставим читателю.

Теорема 8.7 .Конечная группа порядка n является циклической тогда и только тогда, когда в ней найдется элемент по­рядка n . □

Теорема 8.8 .Мультипликативная группа любого конечного поля -  циклическая.

Доказательство. Мы докажем более общее утверждение. Пусть F –произвольное поле, G – подгруппа мультипликативной группы F * и çG÷= n; тогда группа G –цикли­ческая.

Для каждого делителя d числа n через G_d обозначим множество элементов группы G , каждый из которых имеет порядок d . Множе­ство G разбивается в объединение попарно непересекающихся под­множеств G_d;поэтому

.     (1)

Покажем, что  для любого делителя d числа n . Это очевидно выполняется в случае, когда G_d = Æ.

Предположим, что G_d ¹ Æ и a Î G_d.

Рассмотрим циклическую подгруппу áаñ, порождённую элементом a. Так как aÎG_d, то a имеет порядок d , и áаñ={1, a, a²,…,a^d-1}.  Каждый элемент группы áаñявляется корнем многочлена f = x^d –1 в поле F . Так как многочлен степени d имеет в любом поле не более d корней, то группа áаñдаёт нам все корни многочлена f в поле F .

С другой стороны, ясно, что всякий элемент bÎG_d  удовлетворяет условию b^d = 1, то есть является кор­нем многочлена f = x^d –1. Поэтому G_d Í áаñ. Поскольку G_d состоит из эле­ментов порядка d, а число таких элементов в группе áаñравно j (d), то

.     (2)

Далее, вспомним известное свойство функции Эйлера

.        (3)

Из соотношений (1) – (3) следует, что  для любого делителя d числа n . В частности, , что означает, что наша группа G , состоящая из n элементов, имеет элемент порядка n, и, следовательно, является циклической. □

Порождающий элемент ξ группы  будем называть примитивным элементом поля F_q .

Если F * = áξñ, то вместе с элементом ξ примитивным будет и всякий элемент ξⁱ, как только НОД(i , q –1) = 1. Число примитивных элементов поля F_q равно φ(q –1).

 

Алгебраические числа. Минимальный многочлен

 

Пусть Р ≤ F , a Î F .

Элемент a Î F называется алгебраическим над полемР, если a –корень некоторого ненулевого многочлена из кольца Р[х]. В противном случае a называется трансцендент­ным над полем Р.

Так, например, числа ,  -алгебраические над полем Q (объясните, почему), а числа e и p - трансцендентные над полем Q . Над полем R все эти числа являются алгебраическими, так как они принадлежат этому полю и, значит, являются корнями многочлена первой степени из R [ x ]: x - , x - , x - e и x - p соответственно.

Пусть a –алгебраический над полем Р элемент. Нормированный многочлен g Î Р[х], такой, что g (a)= 0 и име­ющий наименьшую степень, назовем минимальным многочленом элемента a над полем Р. Степень многочлена g будем называть степенью элемента a над полем Ри обозначать deg_P a .

Рассмотрим пример.

R £ C, i Î C.

i – алгебраическое над полем R, так как является корнем многочлена . Так как i не является корнем никакого многочлена первой степени из R[x], то минимальный многочлен элемента i над полем R и deg_R i =2.

Очевидно, что минимальный многочлен не может иметь степень 0, так как многочлен g = с, с Î Р \{0} корней не имеет.

Пусть g Î Р[х], g – минимальный многочлен элемента a над полем Р. Тогда справедливы следующие свойства:

1. g – неприводимый над полем Р многочлен.

2. Если f Î Р[х] и f(a)= 0, то f g .

3. g определен однозначно.

4. Если f Î P[x], f(a)= 0 и f –  нормированный неприводи­мый над Р многочлен, то f = g , то есть f –  минимальный многочлен элемента a над полем Р.

5. deg a = 1 тогда и только тогда, когда a Î Р.

Рассмотрим строение простого расширения Р(a) поля Р, порождённого алгебраическим элементом a.

Напомним, что расширение поля называется простым, если оно порождено одним элементом.

Теорема9(о простом алгебраическом расширении). Пусть Р ≤ F , a Î F и deg_P a = n . Тогда

Р(a)= {a_о + a₁ × a + ... + а_{п -1} × a ^n-l | a_i Î P, i Î }.

Доказательство. Пусть g ( x ) = xⁿ + b_{n -1} x^{n -1} +…+ b ₁ x + b ₀ – минимальный многочлен элемента a над полем Р. Тогда a ⁿ + b_{n -1} a ^{n -1} +…+ b ₁ a + b ₀ = 0, откуда a ⁿ =- b_{n -1} a ^{n -1} -…- b ₁ a - b ₀ (*).

Сначала докажем, что множество T ={a_о + a₁ × a + ... + а_п-1 × a ^{n - l} | a_i Î P, i Î }, стоящее в правой части равенства, является полем. Так как T≤ F, воспользуемся критерием подполя. Очевидно, что множество T замкнуто относительно сложения и взятия противоположного элемента. Произведение двух линейных комбинаций из T также принадлежит T, так как все степени a выше, чем (n – 1)ая, могут быть понижены на основании равенства (*). Осталось показать, что всякий ненулевой элемент из T обратим в T. Возьмём произвольный ненулевой элемент a_о + a₁ × a + ... + а_п-1 × a ^{n -1} из T и рассмотрим соответствующий ему многочлен f ( x )= a_о + a₁ × x + ... + а_п-1 × x ^{n -1}. Тогда взятый элемент можно обозначить f ( a)и  f (a)≠0.

Поскольку f (a)≠0 и g (a)= 0, то f ( x ) не делится на g ( x ) в кольце Р[x], и, в силу неприводимости многочлена g над полем Р, многочлены f и g взаимно просты. Последнее означает, что в кольце Р[х]для некоторых многочленов и и v выполнено равенство fu + gv = 1.

Из этого равенства получаем f(a)× и(a)= 1, и, таким образом, элемент f(a) обратим. В выражении и(a) все степени a выше (n – 1) –ой могут быть понижены на основании равенства (*), поэтому элемент f(a) обратим в T.

Итак, T – поле, причем содержащее подполе P и a, а Р(a) по определению наименьшее поле с такими свойствами. Поэтому Р(a) Í T. С другой стороны a_о, a_1, ..., а_п-1 и a принадлежат Р(a), и так как Р(a) – поле, то имеет место замкнутость операций сложения, умножения и возведения в степень, откуда a_о + a₁ × a + ... + а_п-1 × a ^{n - l}Î Р(a). Значит, верно обратное включение T Í Р(a).Отсюда следует равенство

Р(a)= {a_о + a₁ × a + ... + а_п-1 × a ^{n - l} | a_i Î P, i Î },       (**) заявленное в формулировке теоремы. □

Таблица индексов и другие представления конечного поля.

 

Из свойства 4 минимального многочлена и теоремы о простом расширении следует, что для построения конечного поля, имеющего порядок р ⁿ = q, достаточно знать какой-либо нормированный неприводимый в Z_p[x] многочлен степени n. Найти такой многочлен – отдельная задача, которую мы здесь решать не будем; заметим лишь, что существуют таблицы таких многочленов для полей небольших порядков. Для примера приведём таблицы всех нормированных неприводимых многочленов небольших степеней над полями Z ₂ и Z ₃ .

Над Z ₂:

Степень	Многочлен	Порядок
1	x
	x+1	1
2	x2+x+1	3
3	x3+x+1	7
	x3+x2+1	7
4	x4+x+1	15
	x4+x3+1	15
	x4+x3+x2+x+1	5
5	x5+ x2+1	31
	x5+x3+1	31
	x5+x3+x2+x+1	31
	x5+x4+x2+x+1	31
	x5+x4+x3+x+1	31
	x5+x4+x3+x2+1	31
6	x6+x+1	63
	x6+x3+1	9
	x6+x4+x2+x+1	21
	x6+x4+x3+x+1	63
	x6+x5+1	63
	x6+x5+x2+x+1	63
	x6+x5+x3+x2+1	63
	x6+x5+x4+x+1	63
	x6+x5+x4+x2+1	21

 

 

Над Z₃:

Степень	Многочлен	Порядок
1	x
	x+1	2
	x+2	1
2	x2+1	4
	x2+x+2	8
	x2+2x+2	8
3	x3+2x+1	26
	x3+2x+2	13
	x3+ x2+2	13
	x3+x3+x2+2	13
	x3+x2+2x+1	26
	x3+2x2+1	26
	x3+2x2+x+1	26
	x3+2x2+2x+2	13
4	x4+x+2	80
	x4+2x+2	80
	x4+x2+2	16
	x4+ x2+x+1	40
	x4+ x2+2x+1	40
	x4+ 2x2+2	16
	x4+x3+2	80
	x4+x3+2x+1	20
	x4+x3+x2+1	40
	x4+x3+x2+x+1	5
	x4+x3+x2+2x+2	80
	x4+x3+2x2+2x+2	80
	x4+2x3+2	80
	x4+2x3+x+1	20
	x4+2x3+x2+1	40
	x4+2x3+x2+x+2	80
	x4+2x3+x2+2x+1	10
	x4+2x3+2x2+x+2	80

 

Таблица1. Все нормированные неприводимые многочлены небольших степеней над полями Z ₂ и Z ₃

 

В правом столбце указан порядок многочлена, то есть порядок его корня в мультипликативной группе поля, содержащего этот корень. Для построения поля F_q удобно выбирать многочлен порядка q-1, так как его корень будет примитивным элементом поля F_q.

Пусть перед нами поставлена задача: предъявить множество эле­ментов конечного поля, имеющего порядок р ⁿ= q .

Если n =1, то это - поле Z_p  классов вычетов по простому модулю p , и такое поле единственно с точностью до изоморфизма (см. теорему 6).

Если n >1, то ищем в таблице неприводимый в Z_p[x] многочлен степени n, и множество элементов искомого поля записываем согласно формуле (**). Сложение здесь осуществляется поэлементно, сложением коэффициентов при одинаковых степенях, а умножение – как умножение многочленов, с использованием формулы понижения степени (*).

Пример.Пусть требуется построить поле порядка 2⁴ = 16.

Возьмем из таблицы многочлен . Он неприводим над полем Z ₂ . В этом можно убедиться, используя какой-либо критерий неприводимости многочленов или метод неопределенных коэффици­ентов. Обозначим символом a корень этого многочлена: a⁴+a+1=0, откуда a⁴= -a-1= a+1 (так как в Z ₂  -1 = 1). Итак, формула понижения степени (*) в поле такова: a⁴= a+1. 

По формуле (**) запишем множество элементов поля  в общем виде:

.

Варьируя коэффициенты a_о, a_1, a₂, а_3, получим 16 различных элементов: 0, 1, a, a+1, a², a²+1, a²+a, a²+a+1, a³, a³+1, a³+a, a³+a+1, a³+a², a³+a²+1, a³+a²+a, a³+a²+a+1.

Покажем, как производится операция сложения элементов.

 Например, , так как в Z ₂ 1+1=0, и сумма любых двух одинаковых слагаемых в поле характеристики 2 равна нулю.

Покажем, как производится операция умножения элементов.

 Умножение в построенном нами поле  выполняется с использованием формулы понижения степени a⁴ = a+1, причем часто приходится применять её несколько раз, пока не получим в итоге все слагаемые степени меньше 4.

Замечание. Заменив символ a на x, можно получить представление элементов конечного поля в виде многочленов, при этом говорят, что действия в построенном поле проводятся по модулю многочлена f ( x ), то есть полагаем f ( x )=0. Однако такое представление не всегда удобно: присутствие символа х, который чаще всего используют в качестве переменной, может привести к путанице.

Представляя элементы конечного поля в виде линейных комби­наций элемента x или элемента , мы легко выполняем операцию сложения, но испытываем трудности, если требуется найти произве­дение элементов. Так как мультипликативная группа конечного поля – циклическая, можно выразить все ненулевые элементы в виде степени выбранного примитивного элемента. Полученные результаты составляют так называемую таблицу индексов (таблицу дискретных логарифмов).

Поясним, как строится, например, таблица индексов поля . Из таблицы неприводимых многочленов видно, что порядок многочлена  равен 15, то есть его корень a является примитивным элементом поля . Поэтому ={0}È{aⁱ, где i=0…14}. В левом столбце таблицы расположим эти элементы, а во втором запишем соответствующие линейные комбинации из (**). Третий и четвертый столбцы показывают еще 2 способа представления элементов конечного поля – в виде вектора коэффициентов линейных комбинаций из второго столбца, и в виде многочленов.

Эта таблица позволяет быстро находить произведение элементов, предъявленных в виде линейных комбинаций. При этом учитываем, что порядок a равен 15, то есть a¹⁵=1.

 

0	0	0000	0
a0	1	0001	1
a1	a	0010	x
a2	a2	0100	x2
a3	a3	1000	x3
a4	a+1	0011	x+1
a5	a2+a	0110	x2+x
a6	a3+a2	1100	x3+x2
a7	a3+a+1	1011	x3+x+1
a8	a2+1	0101	x2+1
a9	a3+a	1010	x3+a
a10	a2+a+1	0111	x2+x+1
a11	a3+a2+a	1110	x3+x2+x
a12	a3+a2+a+1	1111	x3+x2+x+1
a13	a3+a2+1	1101	x3+x2+1
a14	a3+1	1001	x3+1

 

Таблица 2. Таблица индексов поля .

Рассмотрим пример вычислений по таблице индексов:

.

Также по таблице легко вычислить сумму степеней примитивного элемента. При вычислениях учитываем, что характеристика поля равна 2, то есть 1+1=0, и сумма любых двух одинаковых элементов поля равна 0.

.

Элементы конечного поля также можно представлять матрицами.

Пусть – неприводимый над полем  многочлен. Рассмотрим сопровождающую матрицу А многочлена  f:

Известно, что , поэтому на матрицу А можно смотреть как на корень многочлена f. Нетрудно убедиться в том, что множество  - поле порядка р ⁿ .

Вернемся к полю . Сопровождающей матрицей уже встречав­шегося нам многочлена  является матрица

Используя эту матрицу, получаем

.

 

---

Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 358; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!