Задачи для самостоятельной работы
1. Доказать, что множество матиц размерности m на n над полем P с операцией сложения является абелевой группой.
2. Пусть A = Выясните, является ли абелевой группой:
а) А с операцией сложения, б) А с операцией умножения.
3.Найти произведение матриц А и В, если
а) б)
4. Найти f ( A ), если f ( x ) = 2 x + 3 x + 2 E , A =
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Системой из m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида:
( S )
где – коэффициенты системы, – свободные члены системы, – переменные системы; все они принадлежат некоторому полю P.
Говорят, что n-ка ( удовлетворяет системе ( S ), если при замене на , на , на , система ( S ) превращается в систему верных равенств.
Решением системы ( S ) называется любая n-ка , удовлетворяющая системе ( S ).
Если система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, она называется совместной. Система, не имеющая решений, называется несовместной.
Две системы с n переменными называются равносильными над полем P, если их множества решений над этим полем совпадают.
Если b1 = b2 = ... = bm = 0, то система называется однородной, и неоднородной в противном случае.
Система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений более одного.
Коэффициенты при неизвестных aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) образуют матрицу , которая называется матрицей коэффициентов системы.
|
|
При решении систем важными являются два вида уравнений:
1) , решением этого уравнения является любая n-ка ( ;
2) , где b 0, такое уравнение и любая система, содержащая такое уравнение, не имеет решений.
Существует ряд преобразований над системой ( S ), которые называют элементарными. К ним относятся следующие преобразования:
1) умножение любого уравнения системы ( S ) на любое ;
2) перемена уравнений местами;
3) прибавление к одному уравнению системы ( S ) любого другого уравнения, умноженного на любое ;
4) вычеркивание из системы ( S ) уравнения вида .
Важность элементарных преобразований объясняется справедливостью следующей теоремы.
Теорема 2.1. При элементарных преобразованиях в системе линейных уравнений система переходит в равносильную ей систему.
На элементарных преобразованиях основан очень удобный в практическом отношении способ решения системы ( S ) – метод Гаусса.
Система уравнений вида:
где называется ступенчатой (трапециевидной) системой уравнений.
В методе Гаусса систему линейных уравнений приводят элементарными преобразованиями к равносильной ей ступенчатой системе, у которой находят решения. При этом все элементарные преобразования в системе осуществляют с помощью матриц.
|
|
Рассмотрим систему линейных уравнений ( S ). К матрице коэффициентов системы допишем справа столбециз свободных членов системы b1, b2, ...,bm, получим новую матрицу, которая называется расширенной матрицей системы и обозначается: , т.е.
Элементарным преобразованиям в системе уравнений соответствуют аналогичные преобразования со строками расширенной матрицы. Метод Гаусса состоит из двух частей – прямого и обратного хода. Идея прямого хода метода – с помощью элементарных преобразований привести расширенную матрицу к ступенчатому виду.
Прямой ход метода Гаусса
Шаг 1. Если а11 = 0, то с помощью перемены строк местами добиваемся, чтобы на место этого элемента попал ненулевой элемент. Если в системе при первой переменной все коэффициенты нулевые, то можно произвести замену переменных местами, что в дальнейшем нужно учитывать. Если в матрице коэффициентов нет ненулевых элементов, то все зависит от того, есть ли в системе ненулевые свободные члены. Если таковых нет, то решением такой системы является любая n-ка ( ; если же есть, то это означает, что в системе присутствует уравнение , где b 0, поэтому система не имеет решений.
|
|
Пусть в матрице элемент (верхний индекс указывает на номер шага):
.
Так как и P, то в поле P имеется обратный для этого элемента элемент = . Умножим элемент первой строки на число и прибавим к соответствующим элементам i-й строки (i = 2, 3, ...., m). Числа подберем так, чтобы первые элементы в строках обратились в 0, т.е. . В результате получим матрицу, в которой в первом столбце под главной диагональю все элементы равны 0. Обозначим полученную матрицу :
Если после преобразований в системе появилось уравнение , где b 0, то на этомостанавливаем работу алгоритма, делая вывод о несовместности исходной системы.
Если же ли в результате преобразований появились уравнения вида , то вычеркиваем их и переходим к следующему шагу.
Шаг 2. Если , то, как и в первом шаге, добиваемся того, чтобы на место этого элемента попал ненулевой элемент матрицы. Пусть , умножим элементы второй строки на число и прибавим к соответствующим элементам i-й строки (i = 3, 4, ..., m). Числа подберем так, чтобы вторые элементы в строках обратились в нули, т.е. . В результате получим матрицу, в которой во втором столбце под главной диагональю все элементы равны нулю:
Будем выполнять указанные преобразования до тех пор, пока матрица системы А не примет ступенчатый вид или же в системе не встретится уравнение , где b 0. Если такого уравнения не встретится, то на некотором шаге с номером r будет получена матрица, которой соответствует система уравнений, равносильная исходной, вида:
|
|
(S’)
Здесь неизвестные обозначены: y1, …, yn, потому что, возможно, в процессе работы алгоритма пришлось поменять местами столбцы матрицы коэффициентов, в связи с чем естественный порядок переменных х1, х2 …, хn нарушился. Например, если в расширенной матрице поменяли местами столбцы с номерами k и р, то в системе на месте слагаемых с номерами неизвестных k будут слагаемые с номерами неизвестных р и наоборот, т.е. уk = xp и уp = хk. На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается.
Обратный ход метода Гаусса
Назовем неизвестные у1, y2, ..., уr базисными, а уr+1, уr+2 ,…, уn свободными.
Шаг 1. Из последнего уравнения системы (S’) выразим переменную уr через свободные переменные:
Шаг 2. Подставляем найденный уr в предпоследнее уравнение и находим yr-1:
. . .
Шаг r. Подставляя найденные уr, …, у2 в первое уравнение, находим у1:
В результате, получаем решение системы ( S ), в котором базисные переменные выражены через свободные переменные.
Теорема 2.2. Любая совместная система ( S ) методом Гаусса приводится к равносильной ей ступенчатой системе. Пусть полученная ступенчатая система содержит r уравнений. Если r = n, то система ( S ) имеет единственное решение; если r < n, то система ( S ) имеет более одного решения. Если система ( S ) несовместна, то в процессе решения встретится уравнение вида: .
Замечание. Если в совместной системе линейной уравнений при приведении расширенной матрицы получили r < n, то система ( S ) имеет бесконечно много решений в случае, если система рассматривается над полем с бесконечным числом элементов.
Пример 1. Решим методом Гаусса систему уравнений над полем действительных чисел:
.
Решение.
Данной системе соответствует расширенная матрица:
= .
Приводим матрицу к ступенчатому виду. Проведем ряд элементарных преобразований, чтобы в первом столбце все элементы, кроме первого, стали равны 0. Получим:
Первую строку оставим без изменений
Ко второй прибавим первую, умноженную на -3
К третьей прибавим первую, умноженную на -3
К четвертой прибавим первую, умноженную на -5
Проведем ряд элементарных преобразований, чтобы во втором столбце все элементы, стоящие под главной диагональю, стали равны 0. Получим:
Первую и вторую строку оставим без изменений
К третьей прибавим вторую, умноженную на -2
К четвертой прибавим вторую, умноженную на -2
Третьей строке матрицы соответствует уравнение вида 0=0, поэтому эту строку можно вычеркнуть, четвертую строку умножим на . Получим матрицу: . Матрица еще не имеет ступенчатый вид, так как в третьем столбце полученной матрицы на главной диагонали стоит 0. Поэтому произведем перестановку третьего и пятого столбца (это соответствует перестановке переменных x3 и x5 в системе): .
Система приведена к равносильной системе ступенчатого вида:
.
Решений будет бесконечно много. Перемененные стоящие на главной диагонали, принимаем за главные переменные; переменные, стоящие правее (в нашем случае x4 и x3), считаем свободными переменными. Они могут принимать любые значения из поля R, поэтому система и будет иметь бесконечно много решений. Полагаем: Из нижнего уравнения находим Поднимаясь постепенно в последней системе, получим:
.
На этом процесс решения исходной системы закончен. Получены выражения для неизвестных через и ; последние играют роль свободных переменных. Полагая например, получим частное решение: .
Пример 2. Решим систему уравнений над полем действительных чисел:
.
Решение. Выпишем матрицу, соответствующую данной системе:
= приводим её к ступенчатому виду.
~ ~ .
(Символом ~ обозначают переход от матрицы к матрице, которой соответствует система уравнений, равносильная исходной).
Последней строке соответствует уравнение , которому не удовлетворяют никакие значения переменных. Следовательно, данная система несовместна.
Пример 3. Решим систему уравнений над полем действительных чисел:
.
Решение.
= ~ ~ .
Последней матрице соответствует система: , то есть данная система уравнений имеет единственное решение: .
Пример 4. Исследуйте систему уравнений:
при всевозможных значениях параметров и .
Решение.
Исследовать систему уравнений значит установить, при каких значениях параметров и система совместна, и в каких случаях она несовместна, а также найти ее решения в случае совместности.
Считая параметры и числами, приводим систему к ступенчатому виду:
= ~ .
Исходная система равносильна системе:
.
Сразу установим, когда система совместна.
1) Полученная система будет иметь единственное решение, если все коэффициенты в полученной ступенчатой системе не равны нулю, т.е. если а В этом случае решение будет следующим:
Далее рассмотрим случаи, когда =0, или или .
2) , последнее уравнение в системе имеет вид: 0=-4, что означает, что система несовместна.
3) , система примет вид : .
Из уравнения делаем вывод, что одна из переменных, например , будет свободной, . Следовательно, при система имеет бесконечно много решений: .
4) , получаем : .
Так как случаи, когда рассмотрены, то будем считать, что . Из третьего и второго уравнения находим: подставим их в первое уравнение, получим: или
Итак, если , то система совместна только при , и в этом случае - любое.
Ответ:
1) если то , т.е. система имеет единственное решение;
2) если , то система имеет бесконечно много решений: любое.
3) Если , то система имеет бесконечно много решений: х-любое, .
В остальных случаях система несовместна.
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 212; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!