Задачи для самостоятельной работы

⇐ ПредыдущаяСтр 11 из 26Следующая ⇒

1. Доказать, что множество матиц размерности m на n над полем P с операцией сложения является абелевой группой.

2. Пусть A = Выясните, является ли абелевой группой:

а) А с операцией сложения, б) А с операцией умножения.

3.Найти произведение матриц А и В, если

а) б)

4. Найти f ( A ), если f ( x ) = 2 x + 3 x + 2 E , A =

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Системой из m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида:

( S )

где – коэффициенты системы, – свободные члены системы, – переменные системы; все они принадлежат некоторому полю P.

Говорят, что n-ка ( удовлетворяет системе ( S ), если при замене на , на , на , система ( S ) превращается в систему верных равенств.

Решением системы ( S ) называется любая n-ка , удовлетворяющая системе ( S ).

Если система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, она называется совместной. Система, не имеющая решений, называется несовместной.

Две системы с n переменными называются равносильными над полем P, если их множества решений над этим полем совпадают.

Если b₁ = b₂ = ... = b_m = 0, то система называется однородной, и неоднородной в противном случае.

Система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений более одного.

Коэффициенты при неизвестных a_ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) образуют матрицу , которая называется матрицей коэффициентов системы.

При решении систем важными являются два вида уравнений:

1) , решением этого уравнения является любая n-ка ( ;

2) , где b 0, такое уравнение и любая система, содержащая такое уравнение, не имеет решений.

Существует ряд преобразований над системой ( S ), которые называют элементарными. К ним относятся следующие преобразования:

1) умножение любого уравнения системы ( S ) на любое ;

2) перемена уравнений местами;

3) прибавление к одному уравнению системы ( S ) любого другого уравнения, умноженного на любое ;

4) вычеркивание из системы ( S ) уравнения вида .

Важность элементарных преобразований объясняется справедливостью следующей теоремы.

Теорема 2.1. При элементарных преобразованиях в системе линейных уравнений система переходит в равносильную ей систему.

На элементарных преобразованиях основан очень удобный в практическом отношении способ решения системы ( S ) – метод Гаусса.

Система уравнений вида:

где называется ступенчатой (трапециевидной) системой уравнений.

В методе Гаусса систему линейных уравнений приводят элементарными преобразованиями к равносильной ей ступенчатой системе, у которой находят решения. При этом все элементарные преобразования в системе осуществляют с помощью матриц.

Рассмотрим систему линейных уравнений ( S ). К матрице коэффициентов системы допишем справа столбециз свободных членов системы b₁, b₂, ...,b_m, получим новую матрицу, которая называется расширенной матрицей системы и обозначается: , т.е.

Элементарным преобразованиям в системе уравнений соответствуют аналогичные преобразования со строками расширенной матрицы. Метод Гаусса состоит из двух частей – прямого и обратного хода. Идея прямого хода метода – с помощью элементарных преобразований привести расширенную матрицу к ступенчатому виду.

Прямой ход метода Гаусса

Шаг 1. Если а₁₁= 0, то с помощью перемены строк местами добиваемся, чтобы на место этого элемента попал ненулевой элемент. Если в системе при первой переменной все коэффициенты нулевые, то можно произвести замену переменных местами, что в дальнейшем нужно учитывать. Если в матрице коэффициентов нет ненулевых элементов, то все зависит от того, есть ли в системе ненулевые свободные члены. Если таковых нет, то решением такой системы является любая n-ка ( ; если же есть, то это означает, что в системе присутствует уравнение , где b 0, поэтому система не имеет решений.

Пусть в матрице элемент (верхний индекс указывает на номер шага):

Так как и P, то в поле P имеется обратный для этого элемента элемент = . Умножим элемент первой строки на число и прибавим к соответствующим элементам i-й строки (i = 2, 3, ...., m). Числа подберем так, чтобы первые элементы в строках обратились в 0, т.е. . В результате получим матрицу, в которой в первом столбце под главной диагональю все элементы равны 0. Обозначим полученную матрицу :

Если после преобразований в системе появилось уравнение , где b 0, то на этомостанавливаем работу алгоритма, делая вывод о несовместности исходной системы.

Если же ли в результате преобразований появились уравнения вида , то вычеркиваем их и переходим к следующему шагу.

Шаг 2. Если , то, как и в первом шаге, добиваемся того, чтобы на место этого элемента попал ненулевой элемент матрицы. Пусть , умножим элементы второй строки на число и прибавим к соответствующим элементам i-й строки (i = 3, 4, ..., m). Числа подберем так, чтобы вторые элементы в строках обратились в нули, т.е. . В результате получим матрицу, в которой во втором столбце под главной диагональю все элементы равны нулю:

Будем выполнять указанные преобразования до тех пор, пока матрица системы А не примет ступенчатый вид или же в системе не встретится уравнение , где b 0. Если такого уравнения не встретится, то на некотором шаге с номером r будет получена матрица, которой соответствует система уравнений, равносильная исходной, вида:

(S’)

Здесь неизвестные обозначены: y₁, …, y_n, потому что, возможно, в процессе работы алгоритма пришлось поменять местами столбцы матрицы коэффициентов, в связи с чем естественный порядок переменных х₁, х₂ …, х_n нарушился. Например, если в расширенной матрице поменяли местами столбцы с номерами k и р, то в системе на месте слагаемых с номерами неизвестных k будут слагаемые с номерами неизвестных р и наоборот, т.е. у_k = x_p и у_p = х_k. На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается.

Обратный ход метода Гаусса

Назовем неизвестные у₁, y₂, ..., у_r базисными, а у_r₊₁, у_r₊₂ ,…, у_n свободными.

Шаг 1. Из последнего уравнения системы (S’) выразим переменную у_rчерез свободные переменные:

Шаг 2. Подставляем найденный у_r в предпоследнее уравнение и находим y_r_-1:

. . .

Шаг r. Подставляя найденные у_r, …, у₂ в первое уравнение, находим у₁:

В результате, получаем решение системы ( S ), в котором базисные переменные выражены через свободные переменные.

Теорема 2.2. Любая совместная система ( S ) методом Гаусса приводится к равносильной ей ступенчатой системе. Пусть полученная ступенчатая система содержит r уравнений. Если r = n, то система ( S ) имеет единственное решение; если r < n, то система ( S ) имеет более одного решения. Если система ( S ) несовместна, то в процессе решения встретится уравнение вида: .

Замечание. Если в совместной системе линейной уравнений при приведении расширенной матрицы получили r < n, то система ( S ) имеет бесконечно много решений в случае, если система рассматривается над полем с бесконечным числом элементов.

Пример 1. Решим методом Гаусса систему уравнений над полем действительных чисел:

Решение.

Данной системе соответствует расширенная матрица:

= .

Приводим матрицу к ступенчатому виду. Проведем ряд элементарных преобразований, чтобы в первом столбце все элементы, кроме первого, стали равны 0. Получим:

Первую строку оставим без изменений

Ко второй прибавим первую, умноженную на -3

К третьей прибавим первую, умноженную на -3

К четвертой прибавим первую, умноженную на -5

Проведем ряд элементарных преобразований, чтобы во втором столбце все элементы, стоящие под главной диагональю, стали равны 0. Получим:

Первую и вторую строку оставим без изменений

К третьей прибавим вторую, умноженную на -2

К четвертой прибавим вторую, умноженную на -2

Третьей строке матрицы соответствует уравнение вида 0=0, поэтому эту строку можно вычеркнуть, четвертую строку умножим на . Получим матрицу: . Матрица еще не имеет ступенчатый вид, так как в третьем столбце полученной матрицы на главной диагонали стоит 0. Поэтому произведем перестановку третьего и пятого столбца (это соответствует перестановке переменных x₃и x₅ в системе): .

Система приведена к равносильной системе ступенчатого вида:

Решений будет бесконечно много. Перемененные стоящие на главной диагонали, принимаем за главные переменные; переменные, стоящие правее (в нашем случае x₄ и x₃), считаем свободными переменными. Они могут принимать любые значения из поля R, поэтому система и будет иметь бесконечно много решений. Полагаем: Из нижнего уравнения находим Поднимаясь постепенно в последней системе, получим:

На этом процесс решения исходной системы закончен. Получены выражения для неизвестных через и ; последние играют роль свободных переменных. Полагая например, получим частное решение: .

Пример 2. Решим систему уравнений над полем действительных чисел:

Решение. Выпишем матрицу, соответствующую данной системе:

= приводим её к ступенчатому виду.

~ ~ .

(Символом ~ обозначают переход от матрицы к матрице, которой соответствует система уравнений, равносильная исходной).

Последней строке соответствует уравнение , которому не удовлетворяют никакие значения переменных. Следовательно, данная система несовместна.

Пример 3. Решим систему уравнений над полем действительных чисел:

Решение.

= ~ ~ .

Последней матрице соответствует система: , то есть данная система уравнений имеет единственное решение: .

Пример 4. Исследуйте систему уравнений:

при всевозможных значениях параметров и .

Решение.

Исследовать систему уравнений значит установить, при каких значениях параметров и система совместна, и в каких случаях она несовместна, а также найти ее решения в случае совместности.

Считая параметры и числами, приводим систему к ступенчатому виду:

= ~ .

Исходная система равносильна системе:

Сразу установим, когда система совместна.

1) Полученная система будет иметь единственное решение, если все коэффициенты в полученной ступенчатой системе не равны нулю, т.е. если а В этом случае решение будет следующим: