Задачи для самостоятельной работы

1. Какому полю изоморфно простое поле характеристики ноль? Какое условие выполняется в поле характеристики 0?

2. Какому полю изоморфно простое поле характеристики р? Какое условие выполняется в поле характеристики p?

3. Пусть F_q – конечное поле характеристики р. Как связаны числа q и p?

4. Докажите, что характеристика конечного поля является простым числом.

5. Найдите примитивный элемент поля F₁₁. Постройте таблицу индексов этого поля. Найдите все примитивные элементы поля F₁₁.

6. Дайте определение минимального многочлена алгебраического элемента aÎР. Докажите свойства минимального многочлена.

7. Докажите, что порядок любого элемента мультипликативной группы конечного поля взаимно прост с характеристикой этого поля.

8. Является ли полем фактор-кольцо F₂[x]/<x⁵+x+1>?

9. Постройте таблицу индексов поля F₈, используя неприводимый над F₂ многочлен f(x) = x³+x²+1.

ГЛАВА 3

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Системы линейных уравнений часто возникают при решении многих математических задач. Существуют различные методы их решения. При этом неважно, из какого именно множества берутся коэффициенты и свободные члены систем линейных уравнений, главное, что они принадлежат некоторому полю P. Это означает, что можно пользоваться всеми аксиомами и свойствами полей: так, к примеру, точно известно, что любой ненулевой элемент из поля имеет обратный, что очень важно при применении элементарных преобразований в системе линейных уравнений.

При решении систем линейных уравнений удобно пользоваться матрицами, любую систему линейных уравнений можно задать в матричном виде. Матрицы с введенными операциями образуют векторное пространство (если рассматривать сложение матриц и умножение матриц на скаляр), множество квадратных матриц относительно операций сложения и умножения является кольцом с единицей. В этом кольце некоторые матрицы имеют обратные, множество таких матриц с операцией умножения является группой. Если матрица коэффициентов системы линейных уравнений является обратимой, то система имеет единственное решение. Критерий совместности системы линейных уравнений также формулируется с помощью понятий теории матриц. Именно поэтому глава начинается с изучения матриц.

Матрицы

Матрицей размерности m на n (m n ) над полем P называется прямоугольная таблица элементов поля P , имеющая m строк и n столбцов, при этом пишут: A = .

Множество таких матриц обозначают M .

Элемент a матрицы A расположен в i-той строке и в j-том столбце матрицы A. Любые строки и столбцы матрицы, в свою очередь, являются матрицами.

Две матрицы A и B одинакового размера называются равными, если они совпадают поэлементно.

Пусть A M , B M , то есть матрицы A и B имеют одинаковую размерность. Кратко их будем записывать так: , где

Суммой матрицA и B называется матрица C M , элементы которой находятся по следующему правилу: Теорема 1.1. Алгебра M с операцией сложения является абелевой группой.

Произведением матрицы A на скаляр k называется матрица

Произведение матриц на скаляр обладает свойствами:

2) ,

3) ,

4) 1 A = A,

для любых матриц A , B из множества M и элементов k , l поля P.

Из теоремы 1.1. и свойств произведения матриц на скаляр следует справедливость следующей теоремы.

Теорема 1.2. Множество матриц M с операциями сложения матриц и умножения матриц на скаляр является векторным пространством над полем P.

На множестве матриц также можно задать и операцию умножения матриц. При этом две матрицы можно умножить только в случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Произведением матриц A размерности m nиB размерности n k называется матрица размерности m k, элементы которой находятся по формуле: .

Говорят также: для того, чтобы найти элемент , нужно элементы i-ой строки матрицы A умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и сложить полученные произведения.

Свойства умножения матриц:

1) умножение матриц не коммутативно;

2) умножение матриц ассоциативно, то есть ;

3) умножение матриц дистрибутивно относительно сложения матриц, то есть

Замечание. В свойствах 2) и 3), разумеется, матрицы такой размерности, что все произведения существуют.

Пример 1. Вычислить произведения матриц:

а) ; б) ; в) .

Решение:

а) = ;

б) =(1 ;

в) = .

Можно рассмотреть множества матриц, в которых одновременно заданы операции сложения и умножения.

Квадратными называются матрицы, у которых число строк и столбцов одинаковое.

Если у квадратной матрицы n строк, то говорят, что матрица имеет размерность n . Множество таких матриц обозначают символом M ( P ). В этом множестве важную роль играет единичная матрица.

Матрица Е = называется единичной матрицей.

Заметим, что если A , E – матрицы одной размерности, то , то есть E является нейтральным элементом относительно операции умножения в алгебре квадратных матриц.

Теорема 1.3. Множество M ( P ) с операциями сложения и умножения является кольцом c единицей.

Пример 2. Найти значение многочлена от матрицы .

Решение. В запись многочлена вместо переменной подставляем матрицу A и находим значение 3 A -2 A +5Е, где Е – единичная матрица 3-го порядка:

= .

Возникает также вопрос: у любой ли квадратной A матрицы существует обратная ей матрица, то есть такая матрица A , что справедливо равенство: . Оказывается, нет. В параграфе 5 этой главы будет показано, какие матрицы имеют обратные, и как их находить.

Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 196; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 5 6 7 8 91011 12 13 14 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!