Гомоморфизм и изоморфизм алгебр

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 26Следующая ⇒

Пусть имеются две алгебры: (А, Ω) и (А´, Ω´). Говорят, что задано отображение алгебры (А, Ω) на алгебру (А´, Ω´), если указано отображение множества А на множество А´ и если операциям на А взаимно однозначно сопоставлены операции на А´.

Отображение множества А на множество А´ будем обозначать буквами f , φ; при этом элемент а´ является образом элемента а, обозначается а´= φ (а).

Отображение φ сохраняет операции, если для любых соответствующих друг другу операций – операции ◦ на А и операции * на А´ выполняется условие: φ (а₁ ◦ а₂) = φ (а₁) * φ (а₂) (рис.4).

Отображение алгебры (А, Ω) на алгебру (А´, Ω´), сохраняющее операции, называют гомоморфизмом.

Биективный гомоморфизм алгебры (А, Ω) на алгебру (А´, Ω´), называют изоморфизмом.

Если существует изоморфизм алгебры (А, Ω) на алгебру (А´, Ω´), то алгебры называют изоморфными и пишут A А.

Рис.4. Гомоморфизм алгебр

Задачи для самостоятельной работы

1. Является ли данное отображение гомоморфизмом, изоморфизмом указанных алгебр?

а) ƒ: (Z, +) → (Z, +), ƒ(а) = а + 1;

б) ƒ: (Q [ ], +) → (Q[ ], +), ƒ(а +b ) = а + b ;

в) ƒ: (Z, +) → (Z, +), ƒ(а) = 2а;

г) ƒ: ( R ⁺ , ∙) → ( R , +), ƒ(а) = ln а;

д) φ: ( N , +) → ( R , ·), φ( n ) = ;

е) φ: ( Q , +, ·) → ( R , +, ·), φ( )=2х + 3у + .

Группы, основные свойства групп

Среди различных алгебр важнейшую роль в математике и ее приложениях играют группы. Теория групп используется при изучении геометрических преобразований, в теории алгебраических уравнений, в топологии, атомной физике, криптографии и т.д.

Истоки теории групп лежат в нескольких разделах математики:

а) теории решения алгебраических уравнений в радикалах (Абель, Галуа, Лагранж);

б) геометрии (Кэли, Клейн и др.);

в) теории чисел (Гаусс, Эйлер).

Группой G называется алгебра с одной бинарной алгебраической операцией *, обладающей следующими свойствами:

1) ( " a, b, c Î G) a * (b * c)=(a * b) * c;

2) ( $ n Î G)( " a Î G) a * n=n * a=a;

3) ( " a Î G)( $ a^/ Î G) a^/ * a=a * a^/=n.

Операция *, удовлетворяющая свойствам 1)-3), иногда называется групповой операцией, а элементы множества G – элементами группы.

Группы бывают конечные и бесконечные. Число элементов конечной группы G называется ее порядком и обозначается ½G½.

Свойством коммутативности группа может не обладать. Если же в группе выполняется свойство коммутативности для любых элементов, то она называется коммутативной или абелевой (в честь норвежского математика Н. Абеля (1802-1829)).

Введем следующие определения:

· множество с алгебраической операцией называют группоидом;

· группоид с ассоциативной операцией называют полугруппой;

· полугруппу с нейтральным элементом называют моноидом.

Связь между данными алгебраическими структурами прекрасно иллюстрирует рисунок, из которого видно, что любая группа является полугруппой, а любая полугруппа является группоидом.

Рис.5. Связь между алгебраическими структурами

Приведем примеры групп:

Группа	Операция	Нейтр. Элемент	Симметричный
Группа	Операция	Нейтр. Элемент	а	a^/
Z	+	0	а	-a
Q	+	0	p/q	-(p/q)
2Z	+	0	a=2a₁	-2a₁
{а + b , а, в Z}	+	0	a+b	-a+(-b)
Q⁺	·	1	p	1/p
{-1; 1}	·	1	-1 1	-1 1
{2^m, m Î Z}	·	2⁰=1	2 ^m	2^- ^m

Простейшие свойства групп (на мультипликативном языке):

1) В каждой группе существует только одна единица (по теореме о единственности нейтрального элемента).

2) В каждой группе любой элемент g имеет единственный ему обратный элемент g ^-1 Î G .

3) Во всякой группе каждое из уравнений ax = b и ya = b при любых a , b Î G имеет решение и притом только одно.

Доказательство. Элемент a ^-1 b есть решение уравнения ax = b , так как a ( a ^-1 b )=(а a ^-1 ) b =е b = b . С другой стороны, если с – произвольное решение уравнения ax = b , то с=ес=( a ^-1 а)с= a ^-1 (ас)= a ^-1 b . Таким образом, если существует решение этого уравнения, то оно единственное и равно элементу a ^-1 b . Аналогично доказывается, что элемент ba ^-1 является решением уравнения ya = b .

4) Справедливы законы сокращения:

("a , b , с Î G ) ab = cb Þ a = c (сокращение справа),

("a , b , с Î G ) ba = bc Þ a = c (сокращение слева).

5) ("a, b Î G) ab=a Þ b=1 и ("a, b Î G) ba=a Þ b=1.

6) ("a , b Î G ) ab =1 Þ a ^-1 = b Ù b ^-1 = a .

7) В группе имеет место обобщенный закон ассоциативности, а если группа абелева – обобщенный закон коммутативности.

8) ("a Î G) (a^-1)^-1=a.

9) ("a₁, a₂,… a_n Î G) (a₁ a₂… a_n)^-1= (a_n)^-1(a_n-1)^–1…(a₁)^–1.

Если a ₁ = a ₂ = a ₃ =…= a_n = a, то произведение a·a·a·…·a обозначают символом aⁿ и называют n-ой степенью элемента а.

Степень элемента обладает свойствами, похожими на свойства степеней для натуральных чисел:

("a, b Î G) ("n, m Î Z) a^m·aⁿ= a^m+n; (a^m)ⁿ= a^mn.

Если группа коммутативна, то ( ab ) ⁿ = aⁿ · bⁿ .

Если рассматривается группа с операцией сложения, то говорят о кратных элемента a и пишут: a + a + a +…+a = na; при этом выполняются соотношения: ma + na =( m + n ) a ; n ( ma )=( nm ) a .

Непустое подмножество H группы ( G ,◦) называется подгруппой группы G, если оно само является группой относительно той же операции, что и группа G . В этом случае пишут: H G .

Критерий подгруппы:

Непустое подмножество H группы G является подгруппой группы G тогда и только тогда, когда:

1) ( " a,b Î H) a × b Î H; 2) ( " a Î H) (a^-1) Î H.

Примеры подгрупп:

1. Тривиальные (несобственные) подгруппы. Каждая группа имеет единичную подгруппу и сама является своей подгруппой.

2. Легко показать, что подмножество Н = {2k | k Î Z)} аддитивной группы Z является подгруппой этой группы.

3. Теорема 3.1. Пересечение подгрупп группы также является подгруппой этой группы.

Пусть G – мультипликативная группа, Н – подгруппа группы G , g – элемент группы G .

Множество называется правым смежным классом группы G по подгруппе Н, порожденным элементом g .

Отметим свойства правых смежных классов.

1) Каждый правый смежный класс не пуст.

2) Любой элемент подгруппы Н порождает класс, совпадающий с подгруппой Н.

3) Если элемент g принадлежит какому-то правому смежному классу, то он порождает этот класс.

4) Любые два смежных касса либо не пересекаются, либо совпадают.

5) Объединение всех смежных классов совпадает с группой G .

Из свойств правых смежных классов следует, что множество правых смежных классов задает разбиение группы G . Поэтомуна множестве G можно задать следующее отношение, являющееся отношением эквивалентности: элементы a и b группы G находятся вэтом отношении, если они принадлежат одному правому смежному классу.

Аналогично определению правого смежного класса можно дать определение левого смежного класса gH. Также можно рассматривать на мультипликативную, а аддитивную группу G . В этом случае правый смежный класс записывают следующим образом: H + g.

В теории групп очень важна следующая теорема, связывающая порядок конечной группы и порядок любой ее подгруппы.

Теорема 3.2. (Теорема Лагранжа). Пусть G – группа, Н –подгруппа группы G , | G |= n , | H |= k. Тогда .

Доказательство. Выпишем все элементы подгруппы Н:

Н ={ }.

Заметим, что подгруппу Н можно считать правым смежным классом, порожденным нейтральным элементом группы G.

Если не все элементы группы G перечислены, то возьмем один из оставшихся (например, элемент ) и рассмотрим правый смежный класс группы G по подгруппе Н, порожденной элементом g :

Н g ={ }.

Если в группе G имеется элемент , не вошедший ни в одно из множеств Н, Н g , то рассмотрим правый смежный класс группы G по подгруппе Н, порожденной элементом g :

Н g = { }.

Так продолжим до тех пор, пока не будут исчерпаны все элементы группы G. Пусть последним смежным классом будет класс, порожденный элементом g :

Н g = { }.

Из того, как получены строки, ясно, что каждый элемент группы G входит в некоторый смежный класс.

В любом смежном классе элементы попарно различны. В Н, очевидно, все элементы различны. Возьмем правый смежный класс Н g . Положим, что в ней ( i . Умножив это равенство справа на , получим, что в классе Н есть совпавшие элементы, что невозможно. Аналогично, попарно различны элементы каждого из остальных классов.

Может ли быть так, что совпадают элементы разных классов? Пусть, к примеру, классы Н g и Н g имеют один и тот же элемент . Но в этом случае должен являться элементом класса Н g , что противоречит выбору элемента .

Таким образом, в смежные классах Н, Н g ,…, Н g попаливсеэлементы группы G и каждый элемент встречается один раз. Тогда из равенства n = ks следует, что .

Из теоремы Лагранжа следует, что в группе простого порядка нет смысла искать подгруппы, отличные от единичной и самой группы.

Пусть G – группа и g G. Возьмем множество Н = . Пользуясь критерием, нетрудно убедиться в том, что Н G . Н назовём циклической подгруппой, порожденной элементом g .

Введем обозначения Н= . Элемент g будем называть образующим (порождающим) группу Н.

Если Н= G, то группа G оказывается циклической, порожденной элементом g.

Итак, в группе G взята циклическая подгруппа Н= , порожденная элементом g. Следующие условия равносильны:

1) степени , попарно различны;

2) для целых чисел п и k равенство выполняется тогда и только тогда, когда n = k;

3) для любого целого п равенство выполняется только в том случае, если n = 0 ;

4) для любого натурального числа п;

5) H Z.

Будем говорить, что порядок элемента бесконечен (писать: ord g = ), если для элемента g выполняется одно из пяти условий.

Что будет происходить, если перечисленные выше условия не выполняются? В этом случае для элемента g найдутся целые числа n и k такие, что и . Положив, что k < n, получим для n – N. Поскольку множество натуральных чисел вполне упорядочено, для нашего элемента g найдется наименьшее натуральное число s, такое, что . Это число назовем порядком элемента g .

Запись ord g = s будет означать, что s N, и если t N таково, что , то s t .

Легко увидеть, что ord g = s в том и только том случае, если | H |= s, где Н= .

Показано, что любой элемент конечной группы порождает циклическую подгруппу этой группы, порядок которой совпадает с порядком этого элемента. С учетом этого получаем следующее следствие из теоремы Лагранжа.

Следствие 1. Порядок конечной группы делится на порядок любого ее элемента.

Следствие 2. Если |G|=n, то для любого элемента g G.

Теорема 3.3. Пусть (G, ) – группа, g G, ord g = s , s N.

Справедливы следующие утверждения:

1) ( n Z) ( );

2) ( n , k Z) ( );

3) ( k Z) (ord = ) (здесь символом ( k , s ) обозначен положительный наибольший общий делитель чисел k и s).

Доказательство.

1) Очевидно, если , то .

Пусть целое число п таково, что . По теореме о делении с остатком в кольце целых чисел, имеем n = sq + r , 0 r < s . С учетом этого . Если 0< r < s , то получаем противоречие с условием ord g = s ; поэтому r = 0, и значит, .

2) Это утверждение легко доказывается использованием утверждения (1).

3) Введем обозначения: ( k , s )= d . Будем иметь , , где и – взаимно простые целые числа. В новых обозначениях следует доказать, что ord = . Ясно, что N . Далее, . Пусть теперь t N и . Будем иметь: