Область существования функции.
Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.
Точки разрыва. (Если они имеются).
Интервалы возрастания и убывания.
Точки максимума и минимума.
Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.
Области выпуклости и вогнутости.
Точки перегиба.(Если они имеются).
Асимптоты.(Если они имеются).
Построение графика.
Применение этой схемы рассмотрим на примере.
Пример. Исследовать функцию 
и построить ее график.
Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (- ¥ ; -1) È (-1; 1) È (1; ¥ ).
В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.
Областью значений данной функции является интервал (- ¥ ; ¥ ).
Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.
Находим критические точки.
Найдем производную функции
Критические точки: x = 0; x = - 
; x = ; x = -1; x = 1.
Найдем вторую производную функции
.
Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.
- ¥ < x < - , y ¢¢ < 0, кривая выпуклая
- < x < -1, y ¢¢ < 0, кривая выпуклая
-1 < x < 0, y ¢¢ > 0, кривая вогнутая
0 < x < 1, y ¢¢ < 0, кривая выпуклая
1 < x < , y ¢¢ > 0, кривая вогнутая
< x < ¥ , y ¢¢ > 0, кривая вогнутая
|
|
|
Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.
- ¥ < x < - , y ¢ > 0, функция возрастает
- < x < -1, y ¢ < 0, функция убывает
-1 < x < 0, y ¢ < 0, функция убывает
0 < x < 1, y ¢ < 0, функция убывает
1 < x < , y ¢ < 0, функция убывает
< x < ¥ , y ¢¢ > 0, функция возрастает
Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно -3 /2 и 3 /2.
Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.
Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x .
Построим график функции :
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 220; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!