Найти критические точки функции.

Найти значения функции в критических точках.

Найти значения функции на концах отрезка.

Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.

Исследование функции на экстремум с помощью

Производных высших порядков.

Пусть в точке х = х₁ f ¢ ( x ₁ ) = 0 и f ¢¢ ( x ₁ ) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х₁.

Теорема. Если f ¢ ( x ₁ ) = 0, то функция f ( x ) в точке х = х₁ имеет максимум, если f ¢¢ ( x ₁ )<0 и минимум, если f ¢¢ ( x ₁ )>0.

Выпуклость и вогнутость кривой.

Точки перегиба.

Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b ), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.

На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения.

Теорема 1. Если во всех точках интервала ( a , b ) вторая производная функции f ( x ) отрицательна, то кривая y = f ( x ) обращена выпуклостью вверх (выпукла).

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f ( x ). Если вторая производная f ¢¢ ( a ) = 0 или f ¢¢ ( a ) не существует и при переходе через точку х = а f ¢¢ ( x ) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

Асимптоты.

При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции . Ее наклонная асимптота у = х.

Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.

Вертикальные асимптоты.

Из определения асимптоты следует, что если или или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f ( x ).

Например, для функции прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты.

Предположим, что кривая y = f ( x ) имеет наклонную асимптоту y = kx + b .

J P

Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р – точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью Ох обозначим j . Перпендикуляр М Q к оси Ох пересекает асимптоту в точке N .

Тогда MQ = y – ордината точки кривой, NQ = - ордината точки N на асимптоте.

По условию: , Ð NMP = j , .

Угол j - постоянный и не равный 90⁰, тогда

Тогда .

Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b .

В полученном выражении выносим за скобки х:

Т.к. х ® ¥ , то , т.к. b = const , то .

Тогда , следовательно,

Т.к. , то , следовательно,

Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

1) Вертикальные асимптоты: y ® + ¥ x ® 0-0: y ® - ¥ x ® 0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.

2) Наклонные асимптоты :

Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.

Схема исследования функций

Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 340; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 252627 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!