Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке e .
Для доказательства этой теоремы на первый взгляд очень удобно воспользоваться теоремой Лагранжа. Записать формулу конечных разностей для каждой функции, а затем разделить их друг на друга. Однако, это представление ошибочно, т.к. точка e для каждой из функции в общем случае различна. Конечно, в некоторых частных случаях эта точка интервала может оказаться одинаковой для обеих функций, но это - очень редкое совпадение, а не правило, поэтому не может быть использовано для доказательства теоремы.
Следует отметить, что рассмотренная ниже теорема Лагранжа является частным случаем (при g ( x ) = x ) теоремы Коши. Доказанная нами теорема Коши очень широко используется для раскрытия так называемых неопределенностей. Применение полученных результатов позволяет существенно упростить процесс вычисления пределов функций.
Теорема Лагранжа.
Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a , b ] и дифференцируема на интервале (а, b ), то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка e
a < e < b , такая, что 
.
Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.
Рассмотренная выше теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.
Отношение 
равно угловому коэффициенту секущей АВ.
|
|
|
у
В
А
А e b x
Если функция f ( x ) удовлетворяет условиям теоремы, то на интервале (а, b ) существует точка e такая, что в соответствующей точке кривой y = f ( x ) касательная параллельна секущей, соединяющей точки А и В. Таких точек может быть и несколько, но одна существует точно.
Доказательство. Рассмотрим некоторую вспомогательную функцию
F ( x ) = f ( x ) – y сек АВ
Уравнение секущей АВ можно записать в виде:
Функция F ( x ) удовлетворяет теореме Ролля. Действительно, она непрерывна на отрезке [ a , b ] и дифференцируема на интервале (а, b ). По теореме Ролля существует хотя бы одна точка e , a < e < b , такая что F ¢ ( e ) = 0.
Т.к. 
, то 
, следовательно
Теорема доказана.
Определение. Выражение 
называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.
В дальнейшем эта формула будет очень часто применяться для доказательства самых разных теорем.
Иногда формулу Лагранжа записывают в несколько другом виде:
|
|
|
,
где 0 < q < 1, D x = b – a, D y = f(b) – f(a).
45. Правило Лопиталя (доказательство для случая неопределенности 
).
Правило Лопиталя.
К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:
Теорема (правило Лопиталя). Если функции f ( x ) и g ( x ) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g ¢ ( x ) отлична от нуля вблизи а и f ( a ) = g ( a ) = 0, то предел отношения функций при х ® а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.
Доказательство. Применив формулу Коши, получим:
где e - точка, находящаяся между а и х. Учитывая, что f ( a ) = g ( a ) = 0:
Пусть при х ® а отношение 
стремится к некоторому пределу. Т.к. точка e лежит между точками а и х, то при х ® а получим e ® а, а следовательно и отношение 
стремится к тому же пределу. Таким образом, можно записать:
.
Теорема доказана.
Пример: Найти предел 
.
Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
f ¢ ( x ) = 2 x + 
; g ¢ ( x ) = ex ;
;
Применение дифференциального исчисления к исследованию функций и построению графиков (возрастание, убывание, экстремум, выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба, асимптоты графика функции).
|
|
|
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 235; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!