Исследование функций с помощью производной.

Возрастание и убывание функций.

Теорема. 1) Если функция f ( x ) имеет производную на отрезке [ a , b ] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f ¢ ( x ) ³ 0.

2) Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a , b ] и дифференцируема на промежутке (а, b ), причем f ¢ ( x ) > 0 для a < x < b , то эта функция возрастает на отрезке [ a , b ].

Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f ( x ) убывает на отрезке [ a , b ], то f ¢ ( x ) £ 0 на этом отрезке. Если f ¢ ( x )<0 в промежутке ( a , b ), то f ( x ) убывает на отрезке [ a , b ].

Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a , b ] и дифференцируема на интервале ( a , b ).

Доказанную выше теорему можно проиллюстрировать геометрически:

y y

J j j j

X x

Точки экстремума.

Определение. Функция f ( x ) имеет в точке х₁ максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х₁. Функция f ( x ) имеет в точке х₂ минимум, если f ( x ₂ + D x ) > f ( x ₂ ) при любом D х ( D х может быть и отрицательным).

Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f ( x ) дифференцируема в точке х = х₁ и точка х₁ является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х³, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.

Пример: f ( x ) = ô x ô Пример: f ( x ) =

y y

В точке х = 0 функция имеет минимум, но В точке х = 0 функция не имеет ни

Не имеет производной. максимума, ни минимума, ни произ-

Водной.

Вообще говоря, функция f ( x ) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.

Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)

Пусть функция f ( x ) непрерывна в интервале ( a , b ), который содержит критическую точку х₁, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х₁).

Если при переходе через точку х₁ слева направо производная функции f ¢ ( x ) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х₁ функция f ( x ) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.

На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 151; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 18 19 20 21 22 23 242526 27 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!