Непрерывность функции в точке.
Определение. Функция f ( x ), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.
Тот же факт можно записать иначе: 
Определение. Если функция f ( x ) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.
Пример непрерывной функции
Y
f ( x 0 )+ e
f ( x 0 )
f ( x 0 )- e
0 x 0 - D x 0 x 0 + D x
Пример разрывной функции:
Y
f ( x 0 )+ e
f ( x 0 )
f ( x 0 )- e
x 0 x
Определение. Функция f ( x ) называется непрерывной в точке х0, если для любого положительного числа e >0 существует такое число D >0, что для любых х, удовлетворяющих условию
верно неравенство 
.
Определение. Функция f ( x ) называется непрерывной в точке х = х0, если приращение функции в точке х0 является бесконечно малой величиной.
f ( x ) = f ( x 0 ) + a ( x )
где a (х) – бесконечно малая при х ® х0.
|
|
|
Точки разрыва и их классификация.
Рассмотрим некоторую функцию f ( x ), непрерывную в окрестности точки х0, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х0 является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.
Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.
Если односторонний предел (см. выше) 
, то функция называется непрерывной справа.
х0
Если односторонний предел (см. выше) 
, то функция называется непрерывной слева.
х0
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва функции f ( x ), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке.
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f ( x ) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.
Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х0, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.
|
|
|
Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f ( x ) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.
Этой точке не определена.
Непрерывность функции на интервале и на отрезке.
Определение. Функция f ( x ) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 181; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!