Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

Например, последовательность не имеет предела, хотя

Число е. натуральные логарифмы.

Рассмотрим последовательность { x_n } = .

Если последовательность { x_n } монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.

По формуле бинома Ньютона:

или, что то же самое

Покажем, что последовательность { x_n } – возрастающая. Действительно, запишем выражение x_n ₊₁ и сравним его с выражением x_n :

Каждое слагаемое в выражении x_n ₊₁ больше соответствующего значения x_n , и, кроме того, у x_n ₊₁ добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность { x_n } возрастающая.

Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: x_n < 3.

Итак, последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.

Из неравенства следует, что е £ 3. Отбрасывая в равенстве для { x_n } все члены, начиная с четвертого, имеем:

Переходя к пределу, получаем

Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е.

Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,71828…

Аналогично можно показать, что , расширив требования к х до любого действительного числа:

Предположим:

Найдем

Число е является основанием натурального логарифма.

Выше представлен график функции y = lnx .

Связь натурального и десятичного логарифмов.

Пусть х = 10^у, тогда lnx = ln 10 ^y , следовательно lnx = yln 10

у = , где М = 1/ ln 10 » 0,43429…- модуль перехода.

27. Предел функции в точке, односторонние пределы. Геометрическая иллюстрация определений.

Y f ( x )

A + e

A - e

0 a - D a a + D x

Пусть функция f ( x ) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

Определение. Число А называется пределом функции f ( x ) при х ® а, если для любого e >0 существует такое число D >0, что для всех х таких, что

0 < ï x - a ï < D

верно неравенство ï f ( x ) - A ï < e .

То же определение может быть записано в другом виде:

Если а - D < x < a + D , x ¹ a , то верно неравенство А - e < f ( x ) < A + e .

Запись предела функции в точке:

Определение. Если f ( x ) ® A ₁ при х ® а только при x < a , то - называется пределом функции f ( x ) в точке х = а слева, а если f ( x ) ® A ₂ при х ® а только при x > a , то называется пределом функции f ( x ) в точке х = а справа.

F ( x )

А₂

А₁

A x

Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f ( x ) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Пределы А₁ и А₂ называются также односторонними пределами функции f ( x ) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f ( x ).

Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 210; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 10 11 12 13 141516 17 18 19 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!