Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве .



Общие уравнения прямой в пространстве.

Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей.

      

Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в общем виде к каноническому виду.

Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m , n , p .

При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям.

Условия параллельности и перпендикулярности

Прямых в пространстве.

Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.

Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.

Угол между прямыми в пространстве.

      

.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Угол между прямой и плоскостью.

       Определение. Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

                                                                    

A

A

J

      

Пусть плоскость задана уравнением , а прямая - . Из геометрических соображений (см. рис.) видно, что искомый угол a = 900 - j , где a - угол между векторами  и . Этот угол может быть найден по формуле:

В координатной форме:

Условия параллельности и перпендикулярности

Прямой и плоскости в пространстве.

Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарны. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.


Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Определение и вывод канонических уравнений. Исследование формы кривых по их каноническим уравнениям.

Кривая второго порядка может быть задана уравнением

Ах2 + 2Вху + Су2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0.

Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

1)  - уравнение эллипса.

2)  - уравнение “ мнимого ” эллипса.

3)  - уравнение гиперболы.

4) a 2 x 2 – c 2 y 2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.

5) y2 = 2px – уравнение параболы.

6) y 2 – a 2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.

7) y 2 + a 2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.

8) y2 = 0 – пара совпадающих прямых.

9) ( x – a )2 + ( y – b )2 = R 2 – уравнение окружности.

Эллипс.

       Определение. Эллипсом называется кривая, заданная уравнением .

       Определение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

                                                                  у

М

                                                            r 1                                                    

                                                                    r 2

                                                      F 1       O     F 2        х

F 1 , F 2 – фокусы. F 1 = ( c ; 0); F 2 (- c ; 0)

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

B – малая полуось.

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:

a 2 = b 2 + c 2 .

Вывод канонического уравнения эллипса в тетради!!!

       Доказательство: В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r 1 + r 2 = 2 (по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, r 1 + r 2 = a – c + a + c . Т.к. по определению сумма r 1 + r 2 – постоянная величина, то , приравнивая, получаем:

a 2 = b 2 + c 2

r 1 + r 2 = 2 a .

       Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.

е = с/ a .

Т.к. с < a , то е < 1.

       Определение. Величина k = b / a называется коэффициентом сжатия эллипса, а величина 1 – k = ( a – b )/ a называется сжатием эллипса.

Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k 2 = 1 – e 2 .

       Если a = b ( c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.

       Если для точки М(х1, у1) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне эллипса.

       Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения:

r1 = a – ex, r2 = a + ex.

      

Доказательство. Выше было показано, что r 1 + r 2 = 2 a . Кроме того, из геометрических соображений можно записать:

После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:

Аналогично доказывается, что r 2 = a + ex . Теорема доказана.


Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 208; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!