Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве .
Общие уравнения прямой в пространстве.
Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей.
Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в общем виде к каноническому виду.
Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m , n , p .
При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям.
Условия параллельности и перпендикулярности
Прямых в пространстве.
Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.
Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.
Угол между прямыми в пространстве.
.
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Угол между прямой и плоскостью.
Определение. Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
A
A
J
Пусть плоскость задана уравнением , а прямая - . Из геометрических соображений (см. рис.) видно, что искомый угол a = 900 - j , где a - угол между векторами и . Этот угол может быть найден по формуле:
|
|
В координатной форме:
Условия параллельности и перпендикулярности
Прямой и плоскости в пространстве.
Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.
Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарны. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.
Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Определение и вывод канонических уравнений. Исследование формы кривых по их каноническим уравнениям.
Кривая второго порядка может быть задана уравнением
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0.
Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.
1) - уравнение эллипса.
2) - уравнение “ мнимого ” эллипса.
|
|
3) - уравнение гиперболы.
4) a 2 x 2 – c 2 y 2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.
5) y2 = 2px – уравнение параболы.
6) y 2 – a 2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.
7) y 2 + a 2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.
8) y2 = 0 – пара совпадающих прямых.
9) ( x – a )2 + ( y – b )2 = R 2 – уравнение окружности.
Эллипс.
Определение. Эллипсом называется кривая, заданная уравнением .
Определение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.
у
М
r 1
r 2
F 1 O F 2 х
F 1 , F 2 – фокусы. F 1 = ( c ; 0); F 2 (- c ; 0)
с – половина расстояния между фокусами;
a – большая полуось;
B – малая полуось.
Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:
a 2 = b 2 + c 2 .
Вывод канонического уравнения эллипса в тетради!!!
Доказательство: В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r 1 + r 2 = 2 (по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, r 1 + r 2 = a – c + a + c . Т.к. по определению сумма r 1 + r 2 – постоянная величина, то , приравнивая, получаем:
|
|
a 2 = b 2 + c 2
r 1 + r 2 = 2 a .
Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.
е = с/ a .
Т.к. с < a , то е < 1.
Определение. Величина k = b / a называется коэффициентом сжатия эллипса, а величина 1 – k = ( a – b )/ a называется сжатием эллипса.
Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k 2 = 1 – e 2 .
Если a = b ( c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.
Если для точки М(х1, у1) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне эллипса.
Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения:
r1 = a – ex, r2 = a + ex.
Доказательство. Выше было показано, что r 1 + r 2 = 2 a . Кроме того, из геометрических соображений можно записать:
После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:
|
|
Аналогично доказывается, что r 2 = a + ex . Теорема доказана.
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 208; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!