Уравнение плоскости по точке и вектору нормали.



       Теорема. Если в пространстве задана точка М00, у0, z 0 ), то уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору нормали ( A , B , C ) имеет вид:

A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) + C ( z – z 0 ) = 0.

      

Уравнение плоскости в отрезках.

       Если в общем уравнении Ах + Ву + С z + D = 0 поделить обе части на (- D )

,

заменив , получим уравнение плоскости в отрезках:

Числа a , b , c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z .

Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.

       Рассмотрим точки М1( x 1 , y 1 , z 1 ), M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ), M 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) в общей декартовой системе координат.

       Для того, чтобы произвольная точка М( x , y , z ) лежала в одной плоскости с точками М1, М2, М3 необходимо, чтобы векторы  были компланарны.

( ) = 0

       Таким образом,        

Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости.

       Уравнение плоскости:

 

Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам,

Коллинеарным плоскости.

Пусть заданы два вектора  и , коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у, z ), принадлежащей плоскости, векторы  должны быть компланарны.

Уравнение плоскости :

Уравнение плоскости в векторной форме.

 где

- радиус- вектор текущей точки М(х, у, z ),

 - единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат.

A , b и g - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z .

P – длина этого перпендикуляра.

       В координатах это уравнение имеет вид:

xcos a + ycos b + zcos g - p = 0.

Взаимное расположение плоскостей.

Пусть заданы 2 плоскости:

     

Плоскости параллельны, а их векторы коллинеарны.

 условие параллельности.

 плоскости совпадают.

, т.е. скалярное произведение равно 0.

условие перпендикулярности.

Расстояние от точки до плоскости.

       Расстояние от произвольной точки М00, у0, z 0 ) до плоскости Ах+Ву+С z + D =0 равно:

Угол между плоскостями.

Угол между плоскостями  и  равен:


Прямая в пространстве. Различные способы задания. Взаимное расположение прямых в пространстве.

Уравнение прямой в пространстве по точке и

Направляющему вектору.

Положение прямой в пространстве определяется фиксированной точкой и параллельным ей вектором.Такой вектор наз. направляющим, М(х, у, z )-текущая точка прямой.

       Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t , получаем канонические уравнения прямой в пространстве:

.

      

Уравнение прямой в пространстве, проходящей

Через две точки.

       Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой:

.

      

.


Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 386; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!