ПЕРИОДИЧНОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

⇐ ПредыдущаяСтр 11 из 25Следующая ⇒

Функция называется периодической, если существует такое число λ ≠0, что при любом α из области определения функции числа α - λ и α + λ. также принадлежат этой области и выполняется равенство

f (α - λ )= f (α)= f (α + λ ).

В этом случае число λ называется периодом функции f; ее периодами являются также числа вида п λ, nЄ Z, п≠О. Наименьший положительный период для синуса и косинуса равен 2π, а для тангенса и котангенса он равен π.

Свойство периодичности тригонометрических функций можно выразить тождествами:

sin α =sin(α - 2πk), k Є Z ; (16)

сos α=cos(α +2 πk), kЄ Z; (17)

tg α =tg(α + πk), kЄ Z; (18)

ctg α =ctg(α + πk), kЄ Z. (19)

1. Вычислить:

l) cos 3660°; 2) 2cos4,5π+sin(19π/3); 3) sin(-300°)-tg(-150°).

На основании свойства периодичности косинуса и синуса получим:

1) cos 3660°=cos (360° • 10+60°)=cos 60° = 1/2;

2) 2 cos 4,5π+sin (19π/3) = 2 cos (2π • 2+0,5π)+sin (2π • 3+π/3) = 2 cos 0,5π +

+sin (π/3) =0+ /2 ⁼ /2

3) Прибавив по одному периоду к каждому из аргументов, получим

sin (- 300°) - tg (-150°)=sin ( - 300° + 360°) - tg ( -150° +180°) = sin60^е-tg30°=

= /2 - /3 = /6.

1. Найти периоды функций: 1) y=sin3x; 2) y=cos(x/2).

1) Обозначив искомый период через λ, получим

sin 3 (х+ λ) = sin Зх, или sin(3x+3 λ) = sin3x.

Отсюда заключаем, что З λ =2 π, т. е. λ =2 π /3.

2) Аналогично имеем

cos= ( )=cos , или cos( + ) = cos ,

откуда λ /2=2 π, т. е. λ =4 π.

2. Найти периоды функций:

1) y=sin2x+cos3x; 2) y=sin(3x/2)+sin(2x/3).

1) Найдем период каждого из слагаемых:

sin 2 (х+ λ₁)=sin 2х, sm(2x+2 λ₁) = sin2x, 2 λ₁=2 π, λ₁ = π ;

cos3(x+ λ₂)=cos3x, cos(3x+3 λ₂) = cos3x, З λ₂ = 2 π, λ₂ = 2 π /3.

Каждое число, кратное периоду, само является периодом, поэтому общее кратное чисел λ₁ и λ₂является периодом функции у. Наименьшее общее кратное чисел π и

2π/3, равное наименьшему общему кратному числителей периодов λ₁ и λ₂, есть 2π.

2) Имеем

sin = sin , sin( + )=sin , 3 λ ₁ /2, λ ₁ =4π/3

sin = sin , sin( + )=sin , 2 λ ₂ /3, λ ₂ =3π.

Наименьшее общее кратное числителей периодов λ₁, и λ₂ равно 12 π;

следовательно, период функции равен 12 π.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Функция y=sin x на отрезке - π /2≤х≤ π /2 имеет обратную функцию, которая называется арксинусом и обозначается y = arcsin х:

-1 ≤ D (arcsin х) ≤1, - π /2 ≤ E (arcsin х) ≤ π /2;

sin (arcsin х) = х, где -1 ≤ х ≤ 1: arcsin( - х) = - arcsin х.

Функция y=cos x на отрезке 0≤x≤ π имеет обратную функцию, которая называется арккосинусом и обозначается у = arccos х:

- 1 ≤ D (arccos x) ≤ 1, 0 ≤ E(arccos x) ≤ π;

cos (arccos x) = x, где - 1 ≤ x ≤1 arccos (-x) = π - arccos x.

Функция y=tgx на промежутке - π /2<х< π /2 имеет обратную функцию, которая называется арктангенсом и обозначается у= arctg х:

D (arctg x) = R, - π /2 < E(arctg х) < π /2;

tg(arctg x) = x, где x Є R; arctg(-х)= - arctg х.

Функция y=ctg x на промежутке 0<х< π имеет обратную функцию которая называется арккотангенсом и обозначается y = arcctgx:

D (arcctg x) = R, 0<E(arcctg x)< π;

ctg(arcctg x) = x, где x Є R; arcctg( -х)= π - arcctgx.

1. Проверить, справедливы ли равенства: 1) arcsin(1/2)= π /6;

2) arccos (- /2) = 5 π /6; 3) arctg = - π /3.

1) arcsin (1/2) = π /6, так как sin (π /6) =1/2 и - π /2 < π /6- π/2,

2) arccos (- /2) = 5 π /6, так как соs(5 π /6)= - /2 и 0<5π/6< π;

3) arctg = - π /3, так как tg (-π /3) = - и - π /2 < - π /3 < π /2.

Формулы приведения

Правило:

Для углов ( ±α) или ( ±α) в формулах приведения тригонометрическая функция меняется на ко – функцию, а знак зависит от того какой знак имела первоначальная функция в данной четверти.

Для углов ( ±α) или (2 ±α) в формулах приведения тригонометрическая функция не меняется, а знак зависит от того какой знак имела эта функция в данной четверти.