Производные и дифференциалы высших порядков
Определение. Производной второго порядка, или второй производной, функции 
называется производная от ее производной 
(которую называют первой производной).
Обозначения второй производной: 
, 
Механический смысл второй производной: если – закон прямолинейного движения точки, то 
– ускорение этого движения в момент времени t.
Путем многократного дифференцирования можно получить производную любого порядка. Производная п – го порядка обозначается так: 
и так далее.
Пример. Вычислим 
и 
, если 
; 
.
Решение. В обоих случаях схема выполнения задания одна и та же: последовательное многократное дифференцирование.
1) Найдем производную первого порядка:
Продифференцируем полученное выражение еще раз и, упростив выражение, получим:
2) Найдем производную первого порядка: 
Продифференцируем полученное выражение еще раз:
Наконец, продифференцировав выражение в третий раз, получим:
Аналогичным образом вычисляется дифференциал второго и высшего порядков.
Определение. Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка и обозначается: 
Дифференциал п-го порядка вычисляется следующим образом:
Пример. Вычислим 
и 
, если ; .
| |
1) 
; 2) 
.
Правило Лопиталя
При вычислении предела отношения 
может оказаться, что при 
числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю или к бесконечности, т. е. являются одновременно бесконечно малыми или бесконечно большими величинами. Говорят, что в этих случаях мы имеем дело с «неопределенностями» вида 
или 
.
|
|
|
Вычисление предела в этом случае называется «раскрытием неопределенности» и производится по правилу, указанному французским математиком Гильомом Лопиталем (1661—1704гг.).
Правило Лопиталя . Если функции f (х) и 
таковы, что:
1) 
и 
; или 
и 
;
2) они имеют первые производные в окрестности точки 
(за возможным исключением самой точки а);
3) существует предел 
, тогда существует и предел 
и имеет место равенство 
.
| |
или вычисление предела отношения функций, при соблюдении указанных требований, заменяется вычислением предела отношения их производных, которое в большом числе случаев оказывается проще.
В случае, когда и отношение производных приводит к одному из этих видов «неопределенностей» или , можно уже к этому отношению применить правило Лопиталя и тем самым исследовать отношение вторых производных. Может оказаться, что и отношение вторых производных дает опять-таки какую-либо из этих «неопределенностей». Тогда следует перейти к отношению третьих производных и т. д. Укажем, что если, понадобится прибегнуть к отношению вторых, третьих и т. д. производных, то прежде чем это делать, следует произвести все возможные упрощения в выражении, полученном на предыдущем этапе.
|
|
|
Пример.Найдем 1) 
2) 
;
3) 
; 4) 
; 5) 
Решение.
1) Если в данную дробь подставить –1 вместо х, то получится неопределенность» вида . Применяя правило Лопиталя, получим:
2) Если в числитель и знаменатель данной дроби подставить 1 вместо х, то получится «неопределенность» вида . Применяя правило Лопиталя, продифференцируем числитель и знаменатель данной дроби. В итоге получим:
4) Для вычисления данного предела придется операцию дифференцирования произвести несколько раз, так как после первого дифференцирования «неопределенность» не исчезает. Обратите внимание, что после первого дифференцирования произведено упрощение дроби, а после второго применена формула косинуса двойного аргумента:
4) В данном случае имеет место «неопределенность» вида :
| |
5) Последний пример аналогичен предыдущему:
|
|
|
Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 215; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!