ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.

Любое тригонометрическое уравнение приводится к простейшему:

Sin X = a 1) ׀a׀> 1 уравнение не имеет решений 2) 0 = ׀a׀ sin X = 0 X = πn, n Є Z 3) a = 1 sin X = 1 X = π/2 + 2 πn, n Є Z 4) a = -1, sin X = -1 X = -π/2 + 2 πn, n € Z 5) ׀a׀ < 1, a ≠ 0 X = (-1)ⁿarcsin a +πn, n Є Z	Cos X = a 1) ׀a׀ > -1 уравнение не имеет решений. 2) 0 = ׀a׀ cos X = 0 X = π/2 + πn, n Є Z 3) а =1 cos X = 1 X = 2 πn, n Є Z 4) a= -1 cos X = -1 X = π + 2 πn, n Є Z 5) ׀a׀ < 1, a ≠ 0 cos X = a X = ± arccos a + 2 πn, n Є Z
Tg X = a X = arctg a + πn, n Є Z	Ctg X = a X = arcctg a + πn, n Є Z

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СУММЫ ДВУХ АРГУМЕНТОВ (ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ)

Для нахождения тригонометрических функций суммы и разности двух аргументов применяются следующие формулы:

sin(α+β)=sin α cos β +cos α sin β; (20)

sin (α-β)=sin α cos β -cos α sin β; (21)

cos(α+β)=cos α cos β -sin α sin β; (22)

cos(α-β)=cos α cos β + sin α sin β; (23)

tg(α+β) = ^,α≠ (2k+1), β ≠ (2k+1), ≠1; (24)

tg(α-β)= ^,α≠ (2k+1), β ≠ (2k+1), ≠1.

(25)

сtg(α+β)= , α≠ πk, β≠ πk, α≠ - β+ πk (26)

сtg(α-β)= , α≠ πk, β≠ πk, α≠ β+ πk (27)

Вычислить:

1. 1) sin(α+β), если sin α =3/5, cos β = - 5/13, π/2< α <π, π< β <3π/2; 2) sin(α-β), если cos α = - 4/5, sin β = - 24/25, π< α <3π/2, 3π/2< β <2π ; 3) cos(α+β), если tg α = - 24/7,

tg β = 15/8, π/2< α <π, π< β <3π/2.

1) Найдем cos α и sin β при условии π/2< α <π, π< β <3π/2; cos α = - =

= - 4/5, sin β = - = - 12/13. По формуле (9.34) получим

sin(α+β)=(3/5)(-5/13)+(- 4/5)(-12/13) = 33/65.

2) Находим sin α = - = -3/5; cos β = =7/25. По формуле получим

sin (α- β)=(- 3/5) (7/25) - (- 4/5) • (- 24/25) = -117/125.

3) Из формулы l+tg² α =l/cos² α имеем cos α =± l/ . Учитываем, что π/2< α <π,_находим

cos α = -1/ = -7/25, sin α = = 24/25.

Аналогично находим cos β = - 8/17 и sin β = —15/17. По формулам (9.36) получаем

cos(α+ β)=(-7/25) (- 8/17) - (24/25)(-15/17)=416/425.

2. 1) sin (arcsin (3/5)+arcsin (4/5)); 2) cos (arccos (3/5)+arcsin (8/17)).

1) Обозначив arcsin (3/5)= α и arcsin (4/5) = β, имеем sin α =3/5,

- π /2≤ α ≤π /2 и sin β= 4/5, -π /2≤ β ≤π /2. Находим cos α = =4/5 и

cos β = = 3/5. Следовательно,

sin (arcsin (3/5)+arcsin (4/5)) = sin (α+β) = sin α cos β +cos α sin β =

=(3/5)(3/5)+(4/5)(4/5) = l.

2) Обозначив arccos (3/5)= α и arcsin (8/17) = β, имеем cos α = 3/5, 0≤ α ≤π и

sin β = 8/17, - π/2≤ β ≤π/2 . Находим sina α= =4/5 и

cos β = == 15/17. Таким образом,

cos (arccos (3/5)+arcsin (8/17))=cos (α+β) =cos α cos β -sin α sin β =

=(3/5)-(15/17)-(4/5)(8/17)= 13/85.

3. 1) sin 20° cos 40° +cos 20° sin 40°; 2) cos 47° cos 17° + sin 47° sin 17°.

1) sin 20°cos 40°+cos 20°sin 40° = sin(20°+40°) = sin60°= /2 ;

2) cos 47^ocos l7^o + sin 47^osin l7°=cos(47^o-17^o) = cos 30° = /2.

4. 1) tg(α+β), если tg α = 1/5, tg β =2/3; 2) ctg(α-β), если tg α =3/2, tg β = 5/2;

3) tg(π/4+α), если sin α = 12/13, π/2< α <π.

1) получим

tg(α+β)= =1

2) Находим ctg α =l/tg α =2/3, ctg β = 1/tg β = 2/5. По формуле получим

сtg(α-β)= = -

3) Имеем

tg( +α)= =

По формуле tga α = находим tg α = - = -

Подставив найденное значение тангенса, получим

Tg( +α)= = -

5.1) tg(arctg(l/2)+arctg(3/2)); 2) ctg (arcsin (4/5)+arctg 3).

1) По формуле получим

tg (arctg (1 /2)+ arctg (3/2))=

2) Обозначив arcsin (4/5)= α и arctg 3 = β, получим sin α =4/5, - π/2≤ α ≤π/2 и tg β =3,

- π/2< β <π /2. Далее, находим ctg α =3/4; ctg β =1/3. По формуле (9.40) получим

ctg(arcsin(4/5)+arctg 3)=ctg(α + β)= = -

6. Упростить: 1) sin α cos 2 α +cos α sin 2 α; 2)

1) Используя формулу, получим

sin α cos 2 α +cos α sin 2 α = sin (α + 2 α) = sin 3 α.

2) Используя формулу (9.39), получим

= = =1.

7. Доказать тождества:

1). =tg ; 2). =

1) Упрощая левую часть равенства, получим

= =

= = =tg ,

т. е. тождество доказано.

2) Упрощаем правую часть равенства:

8. Решить уравнения:

1) sin2xcosx+cos2xsinx=0;

2). ; 3). =1

1) Используя формулу (9.34), получим

(sin 2х cos х+cos 2 x sin x=0)ó(sin (2 x+ x)=0)ó(sin 3х +0)ó( ) ó k/3.

2) sin ( /4) cos х+cos ( /4) sin х+cos х cos ( /4)+sin х sin ( /4)=0.

Сократив на sin ( /4) [sin ( /4)=cos ( /4)] и приведя подобные члены, приходим к уравнению

2sinx + 2cosx=0, т. е. sinx+cosx=0.

При условии, cosx 0 имеем tgx= -1; х= - /4+ k.

3) Имеем

( =1)ó( =1)ó(tg(x+ )=1)ó(x+ = + k) ó

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ УДВОЕННОГО

АРГУМЕНТА

Формулы для тригонометрических функций удвоенного аргумента позволяют выразить функции аргумента 2 через функции аргумента :

sin 2 = 2sin cos ; (28)

cos 2 = cos² - sin² ; (29)

= , , , (30)

= , (31)

Из формулы легко получаются следующие соотношения

cos 2 =2 cos² - 1; (31a)

cos 2 = 1-2 sin² . (316)

1. Вычислить: 1) sin 2 , если cos =4/5 и 3 /2 < < 2 ; 2) cos 2 , если cos = -0,2 и /2< < ; 3) tg2 , если tg =3/4 и < <3 /2.

1) Находим sin = - . По формуле (9.42) получим sin 2 =2 (-3/5) (4/5) = -24/25.

2) По формуле находим cos2 =2(-0,2)²-1 = -0,92.

3) По формуле находим = . •

2. Выразить: 1) sin 3 через sin ; 2) cos 3 через cos .

1) sin3 = sin(2 + ) = sin2 cos +cos2 sin =2sin coscos + (1— 2sin² )sin = 2sin cos² +sin - 2 sin³ =2 sin - sin² )+sin - 2 sin³ =2 sin —2 sin³ +sin - 2sin³ =3 sin —4 sin³ ;

2) cos 3 =cos (2 + )=cos 2 cos - sin 2 sin =(2 cos² -1) cos - 2 sin cos sin = 2 cos³ —cos —2 sin² cos =2cos³ —cos -

2(1 —cos² )cos =2cos³ —cos —2cos +2cos³ = 4cos³ —3cos . •

Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 308; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 7 8 9 10 111213 14 15 16 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!