Первый и второй замечательные пределы.

Первый замечательный предел. Вывод первого замечательного предела представляет интерес с точки зрения приложения теории пределов, и поэтому мы предлагаем Вам его практически целиком. Рассмотрим поведение функции  при . Для этого рассмотрим окружность радиуса 1; обозначим центральный угол МОВ через х, при этом .

Тогда явно площадь DМОА < площадь сектора МОА < площадь DСОА.

S _DМОА =

S _МОА= =  S _DCОА=

Вернувшись к упомянутому неравенству и удвоив его, получим:

sin x < x < tg x.

После почленного деления на sin x:  или

Поскольку , то переменная  заключена между двумя величинами, имеющими один и тот же предел, т.е. , на основании теоремы о пределе промежуточной функции предыдущего пункта имеем:

 первый замечательный предел

Пример. Вычислим пределы:

1) ; 2) ; 3)

Решение. 1) Разложим  как отношение  и объединим множители по вышеуказанной схеме: 2) Применяя формулу , произведем подстановку и получим: 3) Разделим числитель и знаменатель дроби на х, затем выровняем сложные аргументы, компенсируя преобразование добавочным коэффициентом  и получим: Ответ. 1) 1, 2) 0, 3)

 

Второй замечательный предел.

Для вывода второго замечательного предела введем определение числа е:

Определение. Предел переменной величины при  называется числом е:

Число е – иррациональное число. Его значение с десятью верными знаками после запятой обычно округляют до одного верного знака после запятой: e = 2,7182818284…» 2,7.

Теорема. Функция при х, стремящемся к бесконечности, стремится к пределу е:

Пример. Вычислим пределы:

1)  2) ; 3)

Решение.

1)

Согласно свойствам пределов, предел степени равен степени предела, т. е.:

2) Введем новую переменную с целью свести предел ко второму замечательному пределу: , отсюда . При  имеем , т. е. .

Кроме того, аналогичным образом можно доказать, что

3) Разложив числитель данной дроби на слагаемые, добьемся выделения 1, а затем примем и используем упомянутое выше утверждение:

Ответ. 1) е³ , 2) е², 3) е⁴.

 

Непрерывность функции

 

Непрерывность функции в точке

Определение. Функция f( x), x Î ( a; b) называется непрерывной в точке x_о Î ( a; b), если предел функции f( x) в точке х_о существует и равен значению функции в этой точке:

.

Согласно данному определению, непрерывность функции f( x) в точке х_о означает выполнимость следующих условий:

1) функция f( x) должна быть определена в точке х_о;

2) у функции f( x) должен существовать предел в точке х_о;

3) предел функции f( x) в точке х_о должен совпадать со значением функции в этой точке.

 

Пример.

Функция f( x) = x² определена на всей числовой прямой и непрерывна в точке х = 1 поскольку f(1) = 1 и

 

Непрерывность функции на множестве

Определение. Функция f(x), называется непрерывной на интервале (a; b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Если функция непрерывна в некоторой точке, то эта точка называется точкой непрерывности данной функции. В тех случаях, когда предел функции в данной точке не существует или его значение не совпадает со значением функции в данной точке, то функция называется разрывной в этой точке, а сама точка – точкой разрыва функции f(x).

Свойства непрерывных функций.

1) Сумма конечного числа функций, непрерывных в точке а, есть функция, непрерывная в этой точке.

2) Произведение конечного числа функций, непрерывных в точке а, есть функция, непрерывная в этой точке.

3) Отношение конечного числа функций, непрерывных в точке а, есть функция, непрерывная в этой точке, если значение функции, стоящей в знаменателе, отлично от нуля в точке а.

 

Пример.

1) Функция f( x) = x^п, где n Î N, непрерывна на всей числовой прямой. Доказать этот факт можно, используя свойство 2 и непрерывность функции f( x) = x.

2) Функция f( x) = с x^п (с – константа) непрерывна на всей числовой прямой, исходя из свойства 2 и примера 1.

Теорема 1. Многочлен есть функция, непрерывная на всей числовой прямой. Теорема 2. Любая дробно-рациональная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Пример. 

1) Функция  непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки , в которой знаменатель дроби обращается в нуль.

2)

Функция  непрерывна всюду на R, т.к. знаменатель нигде не обращается в нуль.

 

           

Ознакомимся с другими определениями непрерывности функции в точке.

Определение Функция f( x) называется непрерывной в точке х = а, если в этой точке ее приращение стремится к нулю, когда приращение аргумента стремится к нулю, или иначе: функция f (х) называется непрерывной в точке х = а , если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е. если

 

---

Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 314; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!