Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов реше­ний линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоя­щий в последовательном исключении неизвестных.

Пусть дана система уравнений

 

 

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На пер­вом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в част­ности, треугольному) виду.

Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид

 

где k ≤ n, a_ij ≠ 0, i = . Коэффициенты а_ij называются главными элементами системы.

На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определе­ние неизвестных из этой ступенчатой системы.

Опишем метод Гаусса подробнее.

Прямой ход.

Будем считать, что элемент a₁₁ ≠ 0 (если а₁₁ = 0, то первым в системе запишем уравнение, в котором коэффициент при ч₁ отличен от нуля).

Преобразуем систему (4.3), исключив неизвестное х₁ во всех урав­нениях, кроме первого (используя элементарные преобразования си­стемы). Для этого умножим обе части первого уравнения на –  и сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения на –  сложим с третьим уравнением си­стемы. Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему

 

 

Здесь ,  (i,j = ) — новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после первого шага.

Аналогичным образом, считая главным элементом  ≠ 0, ис­ключим неизвестное х₂ из всех уравнений системы, кроме первого и второго, и так далее. Продолжаем этот процесс, пока это возможно.

Если в процессе приведения системы (4.3) к ступенчатому вицу по­явятся нулевые уравнения, т.е. равенства вида 0 = 0, их отбрасывают. Если же появится уравнение вида 0 = b_i, а Ь_i ≠ 0, то это свидетель­ствует о несовместности системы.

Второй этап (обратный ход) заключается в решении ступенча­той системы. Ступенчатая система уравнений, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений. В последнем уравнении этой си­стемы выражаем первое неизвестное х_k через остальные неизвестные (х_k+1, … , x_n). Затем подставляем значение x_k в предпоследнее урав­нение системы и выражаем x_k-1 через (х_k+1, … , x_n); затем находим х_k-2, … , x₁. Придавая свободным неизвестным (х_k+1, … , x_n) произ­вольные значения, получим бесчисленное множество решений системы.

Замечания: 1. Если ступенчатая система оказывается треуголь­ной, т. е. k = n, то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим х_n, из предпоследнего уравнения х_n-1, далее поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные (х_k-2, … , x₁).

2. На практике удобнее работать не с системой (4.3), а с расши­ренной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками. Удобно, чтобы коэффициент a₁₁ был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на a₁₁ ≠1).

Пример 4.4. Решить систему методом Гаусса:

 

Решение: В результате элементарных преобразований нал расши­ренной матрицей системы

 

 ~  ~

~  ~

 

исходная система свелась к ступенчатой:

 

Поэтому общее решение системы: x₂=5x₄-13x₃-3; x₁=5x₄-8x₃-1. Если положить, например, x₃ = 0, х₄ = 0, то найдем одно из частных решений этой системы x₁ = -1, х₂ = -3, x₃ = 0, х₄ = 0.

Пример 4.5 . Решить систему методом Гаусса:

 

Решение: Произведем элементарные преобразования над строчками расширенной матрицы системы:

 

 ~  ~  ~

Полученная матрица соответствует системе

 

Осуществляя обратный ход, находим х₃ = 1, х₂ = 1, x₁ = 1.

---

Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 319; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!