Системы линейных однородных уравнений

Пусть дана система линейных однородных уравнений

Очевидно, что однородная система всегда совместна (r(A) = r( )), она имеет нулевое (тривиальное) решение x₁ = х₂ = … = х_n = 0.

При каких условиях однородная система имеет и ненулевые решения?

Теорема 4.4. Для того, чтобы система однородных уравнений имела нулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r её основной матрицы был меньше числа n неизвестных, т.е. r < n

Необходимость.

Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевидно, r ≤ n. Пусть r = n. Тогда один из миноров размера n x n отличен от нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет единственное решение: х_i = = 0, Δ_i = 0, Δ ≠ 0. Значит, других, кроме тривиальных, решений нет.

Итак, если есть нетривиальное решение, то r < n.

Достаточность.

Пусть r < n. Тогда однородная система, будучи совместной, является неопределенной. Значит, она имеет бесчисленное множество решении, т. е. имеет и ненулевые решения.

Пусть дана однородная система n линейных уравнений с n неизвестными

Теорема 4.5. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела нулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы её определитель ∆ был равен нулю, т.е. ∆ = 0

Если система имеет ненулевые решения, то Δ = 0. Ибо при Δ ≠0 система имеет только единственное, нулевое решение. Если же Δ = 0, то ранг r основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т. е. r < n. И, значит, система имеет бесконечное множество (ненулевых) решений.

Пример 4 . 6 . Решить систему

Решение:

A = , r(A) = 2 , n = 3

Так как r < n, то система имеет бесчисленное множество решений.

Найдем их

∆₁ = = , ∆₂ = = 3 . Стало быть,

= = 2 = 3

Положив х₃ = 0, получаем одно частное решение: x₁ = 0, х₂ = О, х₃ = 0. Положив х₃ = 1, получаем второе частное решение: x₁ = 2, x₂ = 3, х₃ = 1 и т.д.

Контрольные вопросы

Дайте определение понятия матрица.
Какие существуют виды матриц, сформулируйте определения.
Какие действия можно производить с матрицами, сформулируйте их алгоритм.
Дайте определение понятия определителя матрицы.
Назовите методы, с помощью которых решаются системы линейных уравнений.

Контрольные задания

I вариант

Вычислить:

а) произведение АВ, если А =

и В =

; б) А²– 2В, если А =

и В =

Вычислить определитель:

а)

; б)

Решить систему уравнений по формулам Крамера:

а)

; б)

Решить систему уравнений методом Гаусса:

II вариант

Вычислить:

а) произведение АВ, если А =

и В =

; б) А²- 3В, если А =

и В =

Вычислить определитель:

а)

; б)

Решить систему уравнений по формулам Крамера:

а)

; б)

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Сроки выполнения задания: при изучении данной темы, в течение семестра.

Критерии оценки задания: для получения зачёта за самостоятельную работу по данной теме необходимо выполнить все задания любого из двух предложенных вариантов, решая задания нужно делать ссылки на используемый теоретический материал. Оформляется работа в тетради для самостоятельных работ.

Самостоятельная работа №2

«Последовательности и функции»

Цель: формирование навыков вычисления пределов числовых последовательностей и функций

Предел последовательности

Определение предела последовательности

Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число а_п, то говорят, что задана числовая последовательность

Т.е. числовая последовательность – это функция натурального аргумента:

. Числа а₁, а₂,…,а_п называются членами последовательности, а число а_п – общим или п – м членом последовательности. Определение. Последовательность (a_n) называется ограниченной, если существуют числа M и m такие, что для любого n выполняется неравенство: m £ (a_n) £ M. В противном случае она называется неограниченной.

Определение. Число А называется пределом последовательности (а_n), если для каждого положительного числа e найдется такое натуральное число N, что для любого n > N справедливо неравенство: . В этом случае пишут при или

Определение. Последовательность (a_n), имеющая предел А, называется сходящейся к числу А, не имеющая предела последовательность называется расходящейся.

Геометрический смысл сходимости можно выявить, преобразовав выражение

Таким образом, все члены последовательности (a_n), сходящейся к числу А, имеющие порядковые номера лежат в интервале (А– e; А + e), который называется e-окрестностью точки А.

Этот раздел отводится для упражнений, связанных с определением понятия предела последовательности.

Величина может стремиться к своему пределу различными способами:

1) оставаясь меньше своего предела, 2) оставаясь больше своего предела, 3) колеблясь около своего предела и 4) принимая значения, равные своему пределу.

Выбор числа ε произволен, но после того, как оно выбрано, никаким изменениям в дальнейшем оно не должно подвергаться.

Пример. Докажем, что последовательность с общим членом имеет предел, равный 1.

Решение.Выберем произвольно положительное число ε и покажем, что для него можно определить такое натуральное число N, что для всех номеров п > N будет выполняться неравенство, рассмотренное выше, в котором надо взять А = 1, т. е. неравенство

После приведения в скобках к общему знаменателю получим

или

Но если то и .

Из последнего неравенства следует, что , а .

Значит, если номер N больше, чем , то неравенство будет выполняться.

Теперь надо решить вопрос о числе N, о котором идет речь в определении. За число N можно принять наибольшее целое число, содержащееся в числе . Наибольшее целое число, содержащееся в числе х, обозначается знаком Е (х). На основании этого наибольшее целое число, содержащееся в числе надо обозначить так: Итак, можно принять (предполагается, что , иначе N не будет натуральным и его надо брать равным 1).

Таким образом, попроизвольно заданному положительному числу мы нашли такое натуральное число N, что для всех номеров n > N неравенство действительно выполняется, а этим и доказано, что 1 является пределом последовательности с общим членом .

Теперь проведенные вычисления проиллюстрируем числовым примером.

Пусть, например, . Тогда при получаем из следующее значение: или

Таким образом, для членов последовательности с номером большим, чем 99, выполняется неравенство:

Пусть п = 97; тогда, так как , то , а

если п = 98, то и , а

Из этих расчетов видно, что когда номер п члена последовательности меньше 99 неравенство не выполняется, т.е. Если взять номер, превышающий 99, например, п = 101, то получим и , а .

если п = 98, то и , а

Полученный результат можно записать так: . Иначе можно сказать, что последовательность сходится к 1.

Мы употребили запись , которую следует понимать так: переменная величина п становится все большей и большей и не существует предела для ее возрастания. Какое бы большое число мы ни задали, п в процессе своего возрастания его превзойдет. Для того чтобы коротко описать этот характер изменения п, принято говорить «эн стремится к бесконечности» и записывать это так: . Символ произносится «бесконечность» и применяется для сокращенной записи слова «бесконечность». Символ ни в коем случае не может рассматриваться как число, а потому бессмысленной является запись , так как п может равняться числу и не может быть равно символу, введенному только для сокращенной записи и сокращенного произношения фразы, которой заранее был придан определенный, указанный выше, смысл.

Очевидно, что последовательность может быть записана таким образом:

и легко видеть, что она стремится к своему пределу 1, возрастая и оставаясь меньше 1.

Пример Докажем, что последовательность 3, З², 3³,3⁴,..., 3" ... не имеет предела.

Решение. Мы докажем требуемое, если установим, что общий член этой последовательности превзойдет любое наперед заданное число.

Пусть А такое число. Возьмем .

Тогда

и подавно

, или 3^п > А. Тем самым показано, что 3^п может превзойти любое число А. Если бы существовал предел переменной

, и был бы равен А, то для любого

> 0 можно было бы подобрать такое N, что при номерах п > N выполнялись бы неравенства a

, т. е.

, а это противоречит доказанному, так как 3^п при

превзойдет любое число А, а тем самым и число a +

, меньше которого оно должно оставаться. Это противоречие и доказывает, что данная последовательность предела не имеет. Этот пример иллюстрирует утверждение: не всякая последовательность имеет предел.

Свойства пределов последовательностей

Если две последовательности и имеют пределы, равные соответственно А и В, то:

1) Последовательность имеет предел, равный :

Это свойство распространяется на случай любого фиксированного числа слагаемых,

2) Последовательность имеет предел, равный , т. е.

Это свойство распространяется также на случай любого фиксированного числа сомножителей.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

при любом постоянном k.

3) Последовательность

имеет предел, равный

, т. е.

. при условии, что все у_п не равны нулю и

Пример. Найдем предел последовательности: .

Решение. Очевидно, что числитель и знаменатель данной дроби имеют бесконечные пределы, т. е. представляют собой расходящиеся последовательности. Для разрешения проблемы произведем тождественное преобразование дроби, почленно разделив ее на наибольшую из степеней п (в данном случае, на ). Предел полученной дроби найдем, определив значение предела каждого слагаемого в отдельности и учитывая, что при условии, что с и k – постоянные, причем k больше 1. Помните, что предел постоянной величины есть сама величина, поскольку последовательность, все члены которой равны, имеет предел, равный ее общему члену. После этих подробных рассуждений укажем, как следует расположить записи:

нул

Здесь применена теорема о пределе дроби.

Ответ.–2.

Такие подробные записи в последующем, когда выработается определенный навык, можно сократить.

Пример. Найдем .

Решение.

Ответ.

Предел функции

Определение предела функции в точке

Сформулируем определение предела функции в точке.

Определение. Пусть функция f( x) определена в некоторой окрестности точки а, кроме, может быть, самой точки а, Число В называется пределом функции f( x) в точке а (или при х, стремящемся к а), если для любой последовательности значений аргумента х_п ¹ а, п Î N, сходящейся к а, последовательность соответствующих значений функции f( x_п), п Î N, сходится к числу В.

В этом случае пишут: или при .

Если же для некоторой последовательности значений аргумента, сходящейся к а, соответствующая последовательность значений функции не является сходящейся, то функция в данной точке не имеет предела. То же заключение можно сделать, если для двух различных последовательностей значений аргумента последовательности соответствующих значений функции имеют различные пределы.

Очевидно, число В является пределом функции при тогда и только тогда, когда можно представить в виде:

= В + , где при .

Отметим, что точка а, в которой рассматривается предел функции , может принадлежать области определения функции , а может и не принадлежать. При нахождении предела функции в точке не рассматривается значение функции в этой точке.

Пример. Докажем справедливость следующих равенств:

1) , при = с; 2) при .

Решение.

1) Пусть = с для всех х из некоторого интервала, содержащего точку а. Тогда для любой последовательности (х _n) такой, что х _n ® а при n ® ¥, имеем = с и .

Следовательно .

2) Для любой последовательности (х _n) такой, что х _n ® а при n ® ¥, имеем

Следовательно, согласно определению предела .

Свойства пределов функций

Основные свойства пределов функций аналогичны теоремам о пределах числовых последовательностей:

1) Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют: .

2) Предел произведения функций равен произведению их пределов, если последние существуют: .

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: , если существует.

3) Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел делителя отличен от нуля: , если .

При изучении пределов функций иногда полезно использовать следующую «теорему о пределе промежуточной функции».

Теорема. Если , и в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а, выполняются неравенства , то .

Пример. Вычислим пределы: 1) ; 2) ; 3) .

Решение.

2) Поскольку предел знаменателя равен 0, то воспользоваться теоремой о пределе частного невозможно. Поэтому первоначально сократим дробь, разложив числитель на множители:

Ответ. 1) 11, 2) –1, 3) 2

Определение предела функции на бесконечности

При изучении свойств функции приходится рассматривать предел функции в бесконечности, бесконечный предел функции в точке, а также бесконечный предел в бесконечности.

Рассмотрим более подробно предел функции в бесконечности, т.е. при и при .

Определение. Пусть функция f( x) определена на всей числовой прямой. Число В называется пределом f( x) при , если для любой последовательности (х_п) такой, что .

В этих случаях пишут, что . Аналогично, ,если для любой последовательности (х_п) такой, что .

Пример. Докажем, что

Решение.

Рассмотрим произвольную последовательность (х_п) такую, что

Так как последовательность , где n Î N, сходится к 1, то согласно определению . Легко видеть, что и .

Кроме рассмотренного случая конечного предела функции f( x) при х ® ∞ (или иначе х ® ± ¥) используется понятие бесконечного предела. Например, функция

, определенная для всех х ¹ 0, принимает сколь угодно большие значения при х ® 0. В этом случае говорят, что функция в точке х = 0 имеет своим пределом бесконечность, и пишут

Определение. Если для любой последовательности значений аргумента (х_п) такой, что х_п ¹ 0 и , имеет место , то говорят, что предел функции f( x) в точке а есть бесконечность, и пишут .

Пример. Найдем пределы

1) ; 2)

Решение. При определении значений предела функции на бесконечности воспользуемся тем же приемом, что и в случае последовательности:

Ответ. 1) -3, 2) 0.

Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 945; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!