Производная функции одной переменной. Правила дифференцирования. Производная сложной функции
Определение производной
Рассмотрим функцию 
, где 
(рис. 31). Возьмем произвольную точку 
. Для любого разность х – х0 называется приращением аргумента х в точке х0 и обозначается 
. Таким образом,
Разность 
называется приращением функции в точке х0.
Определение. Производной функции 
в точке х0 называется предел отношения приращения функции 
к приращению аргумента при 
, если этот предел существует и обозначается 
Пример. Вычислим по определению производную функции в заданной точке:
1) 
2) 
3)
| |
| Решение. Согласно определению производной, имеем: 1) 2) 3)
|
; 
Ответ. 1) –3; 2) 4а + b; 3) 
Функция, имеющая производную в точке х0, называется дифференцируемой в этой точке. Если же функция дифференцируема в каждой точке некоторого интервала 
, то она дифференцируема на этом интервале. Необходимое условие существования производной вытекает из следующей теоремы.
Теорема. Если функция дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке.
Однако непрерывность функции в точке не является достаточным условием дифференцируемости функции в точке.
Пример. Функция 
непрерывна в точке х0 = 0, но не дифференцируема в ней, поскольку 
Геометрический смысл производной
| Пусть непрерывная функция , где  , дифференцируема в некоторой точке  , а кривая L – график этой функции, содержащий точку  . Выберем на кривой L произвольную точку М (х; у) и построим секущую М0М (см. рис.). Точку М можно выбрать сколь угодно близко в точке М0. Положение секущей при этом будет изменяться.
|
Определение. Касательной к кривой L в точке М0 Î L называется прямая М0Т, занимающая предельное положение секущей М0М (М Î L) при М ® М0 (если такое положение существует).
|
|
|
Геометрический смысл производной: производная функции в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику данной функции в его точке с абсциссой х0: 
.
Уравнение касательной к кривой L в точке (х0; f (х0)), записанное как уравнение прямой, проходящей через точку (х0; f (х0)) и имеющей угловой коэффициент 
имеет вид:
или
.
Уравнение нормали к кривой (прямой, проходящей через точку кривой L с абсциссой х0 перпендикулярно касательной) составляется аналогичным образом с учетом того, что ее угловой коэффициент равен:
 ,
то есть  или  .
|
Пример. Составим уравнения касательной и нормали к данной кривой в данной точке:
1) 
2) 
Решение.
1)
| |
Согласно определению производной, имеем: 
Тогда уравнение касательной примет вид: 
или 
Уравнение нормали запишем в виде: 
2) 
Согласно определению производной, имеем: 
|
|
|
| |
.
Уравнение нормали запишем в виде: 
Механический смысл производной
Положим, что материальная точка движется прямолинейно по закону 
тогда ее средняя скорость за промежуток времени 
вычисляется по формуле:
Как известно, мгновенной скоростью в момент времени t0 называется предел (если он существует), которому стремится средняя скорость за промежуток времени при 
, т.е.
Таким образом, мгновенная скорость движения материальной точки в любой момент времени t есть производная от пути s по времени t.
В этом состоит физический смысл производной.
Пример. Найдем скорость движения материальной точки в момент времени t = 4, если закон движения задан формулой:
| |
Решение. Найдем по определению: 
, тогда 
Правила дифференцирования.
Если функции u(x) и v(x) имеют производные во всех точках интервала
(a; b) , то для любого х Î (a; b) выполняются следующие равенства:
1. 
2. 
3. 
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
Пример. Вычислим производные следующих функций, используя правила дифференцирования:
1. 
2. 
3. 
Решение. Для решения первого примера используем правило вычисления производной алгебраической суммы функций и следствие:
|
|
|
Для решения второго и третьего примеров используем правила вычисления производных произведения и отношения функций и следствие:
| |
Таблица производных.
| № п/п | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| C | х | хп | 
| 
| 
| 
| 
| ex | ax |
| 0 | 1 | nxn-1 | 
| cosx | -sin x | 
| 
| ex | ax 
|
| № п/п | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
|
| 
| 
| arcsinx | arccosx | arctgx | arcctgx |
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
Производная сложной и обратной функции.
С понятием сложной функции Вы уже неоднократно сталкивались в школьном курсе математики. Пусть даны две функции 
и 
, причем область определения функции содержит область значений функции .
Определение. Функция, заданная формулой 
, называется сложной функцией, составленной из функций g и j или суперпозицией функций g и j.
Пример. Для функций 
и 
составим 
и 
.
Решение.
 ;
Вышеуказанный пример наглядно демонстрирует тот факт, что результат суперпозиции двух различных функций зависит от порядка, в котором эти функции следуют. Рассмотрим теорему о производной сложной функции:
|
Теорема. Пусть функция , х Î ( a; b), имеет производную в точке х0 Î ( a; b), а функция определена на интервале, содержащем множество значений функции g, и имеет производную в точке 
. Тогда сложная функция 
имеет производную в точке х0,, которая вычисляется по формуле:
|
|
|
или (формулировка Лагранжа) 
Пример. Найдем производные следующих функций:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Решение.
1) Полагаем, что 
, тогда 
. Отсюда
и 
.
Следовательно, согласно формуле для расчета производной сложной функции, имеем:
.
2) Полагаем, что 
, тогда 
. Отсюда
и 
.
Следовательно, согласно формуле для расчета производной сложной функции, имеем:
.
3) Имеем, что
Пусть 
есть дифференцируемая функция от аргумента х в некотором интервале (а; b). Если в вышеуказанном уравнении у рассматривать как аргумент, а х как функцию, то последняя примет вид: 
, причем 
. Функция является обратной по отношению к данной и обозначается 
, причем 
.
Теорема. Для дифференцируемой функции с производной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е.
Пример. Найдем производные следующих выражений, содержащих экспоненту:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
Решение. Произведем расчеты, используя изученные правила дифференцирования:
1) Используем формулу для расчета производной произведения и учтем, что 
; 
;
2) 
;
3) 
.
Пример. Найдем производные следующих выражений, содержащих логарифмическую функцию:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
Решение.
1) 
;
2) Используем правило дифференцирования отношения, учитывая, что 
;
3) Заметим, что 
:
| |
.
Дифференциал
Определение. Дифференциал 
функции 
– это главная часть приращения функции 
в точке х, так что 
, где 
– бесконечно малая величина.
Дифференциал функции вычисляется по формуле:
 ,
где  – дифференциал аргумента, равный приращению аргумента в данной точке.
| Запомните алгоритм вычисления дифференциала!: |
| Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику функции в соответствующей точке, когда аргумент получает приращение  (см. рис.).
Приближенное равенство  используется в приближенных вычислениях. В таких случаях значение выражения  заменяют приближением: 
|
Пример. Вычислим приближенно 
.
Решение. Введем функцию, выбрав в качестве значения аргумента число, позволяющее точно найти значение функции. Затем рассмотрим приращение аргумента, являющееся разностью исходного числового значения и выбранного нами (оно может быть как положительным, так и отрицательным). Вычислим дифференциал функции в данной точке и примем его приближенно равным приращению функции в этой точке. Суммируя значения функции в выбранной точке и ее приращение, получим приближенное значение исходного выражения.
Пусть 
, причем 
Тогда: 
Вычислим дифференциал функции: 
.
Найдем приближенное значение функции: , то есть 
.
|
.
Ответ. .
Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 337; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!