Домашняя на 14 октября: Геометрия



Задача 1. Доказать, что углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Задача 2. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок AC = 10?

Задача 3. На основании AB равнобедренного треугольника ABC даны точки A1 и B1. Известно, что AB1 = BA1. Докажите, что треугольник AB1C равен треугольнику BA1C.

Задача 4. Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из них.

Задача 5. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.

Задача 6. Две высоты треугольника равны. Докажите, что треугольник равнобедренный.

Задача 7. Высоты треугольника ABC, проведённые из вершин B и C, пересекаются в точке M. Известно, что BM = CM. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

Задача 8. Дана незамкнутая ломаная ABCD, причём AB = CD, ∠ABC = ∠BCD и точки A и D расположены по одну сторону от прямой BC. Докажите, что ADBC.

 

Занятие 7 октября: Геометрия

Для решения следующих задач можно пользоваться следующими теоремами:

1) Сумма смежных углов равна 180°.

Примечание: пожалуйста, не говорите «они равны 180°». Сумма!

2) Три признака равенства треугольников:

I по двум сторонам и углу между ними

II по двум углам и стороне между ними

III по трём сторонам

3) Соответственные углы при параллельных прямых равны.

Задача. Доказать, что вертикальные углы равны.

Задача. Доказать, что у равнобедренного треугольника медиана к основанию совпадает с биссектрисой.

Задача. Доказать, что если у треугольника медиана совпадает с высотой, то треугольник равнобедренный.

Задача. Доказать равенство двух треугольников по углу, стороне и биссектрисе, проведенным из вершины этого угла.

Задача. Используя свойства параллельных прямых, доказать, что сумма углов в треугольнике равна 180°.

 

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/9z074c3nrin98kh/8%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2002%2007.10.pdf?dl=0

Ссылка на кондуит:

https://docs.google.com/spreadsheets/d/1LVHLkPA9T0UVyfwlHOb6U2SYtKwm_OuN0sW6ez_upmk/

Занятие 30 сентября: регата

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).

1.1. Сумма вычитаемого, уменьшаемого и разности равна 2016. Найдите уменьшаемое.

1.2. Существует ли такой четырехугольник, что любая диагональ делит его на два тупоугольных треугольника?

1.3. Может ли разность четвертых степеней простых чисел быть простым числом? Ответ обоснуйте.

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

2.1. Упростите выражение (избавьтесь от как можно большего количества знаков корней):

2.2. На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка E, а на биссектрисе BD – точка F, таким образом, что EF || AC и AF = AD. Докажите, что = ВЕ.

2.3. В некотором классе при любой раздаче 200 конфет найдутся хотя бы двое школьников, получившие одинаковое количество конфет (возможно, и ни одной). Каково наименьшее количество учеников в таком классе?

Третий тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

3.1. На середине дороги от Васиного дома до школы стоит светофор. В понедельник Вася попал на зеленый сигнал светофора. Во вторник он шел с той же скоростью, но простоял на светофоре 5 минут, а после этого увеличил скорость вдвое. И в понедельник, и во вторник он потратил на путь от дома до школы одинаковое время. Какое?

3.2. Про треугольник, один из углов которого равен 120°, известно, что его можно разрезать на два равнобедренных треугольника. Чему могут быть равны два других угла исходного треугольника?

3.3. На острове живут лжецы, которые всегда лгут, и рыцари, которые всегда говорят правду. Каждый из них сделал по два заявления: 1) «Среди моих друзей – нечетное количество рыцарей»; 2) «Среди моих друзей – четное количество лжецов». Четно или нечетно количество жителей острова? Ответ обоснуйте.

Четвертый тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).

4.1. Три числа x, y и z отличны от нуля и таковы, что x2y2 =yz и y2z2 =xz. Докажите, что x2z2 =xy.

4.2. В параллелограмме ABCD O – точка пересечения диагоналей. Точка M лежит на продолжении стороны AB за точку B. Известно, что угол AMO равен углу ВAD. Докажите, что MC = MD.

4.3. В десятичной записи числа – 36 цифр. Разрешается разбить его на группы по 6 цифр в каждой и как-нибудь переставить эти группы. Известно, что число, полученное при одной из перестановок, в 7 раз больше числа, полученного при другой перестановке. Докажите, что большее из этих чисел делится на 49.

Источник: http://olympiads.mccme.ru/regata/

 

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/qbnu6ko270rmvsy/8%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2001%2030.09.pdf?dl=0

 

 


Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 153;