Домашняя на 4 ноября: От противного



Во всех задачах требуется доказательство от противного, т.е. начинающееся словами «предположим, что…». Во всех задачах главное — аккуратно обоснованное решение.

Задача 25. 10 школьников играли в снежки. Каждый попал снежком в пятерых товарищей. Докажите, что хотя бы два школьника попали друг в друга.

Задача 26. За круглым столом сидят 25 мальчиков и 25 девочек. Докажите, что у кого-то из сидящих за столом оба соседа — мальчики.

Задача 27. Имеется 101 пуговица, каждая пуговица — одного из 11 цветов. Докажите, что либо среди этих пуговиц найдутся 11 пуговиц одного цвета, либо 11 пуговиц разных цветов.

Задача 28. Докажите, что в любой компании найдутся два человека, имеющие одинаковое число знакомых в этой компании.

Задача 29. Можно ли расставить числа в квадратной таблице 5×5 так, чтобы сумма чисел в каждой строке была больше 100, а в каждом столбце — меньше 100?

Задача 30. Пять рыцарей надели пять плащей, и каждому плащ оказался короток. Тогда рыцари, сняв плащи, выстроились по росту. Самый высокий рыцарь взял себе самый длинный плащ, второй взял себе самый длинный плащ из оставшихся и т.д. Рыцарь самого маленького роста взял себе самый короткий плащ. Докажите, что и в этом случае каждому рыцарю плащ окажется короток.

Задача 31. На 99 карточках пишут числа 1, 2, ..., 99, перемешивают их, раскладывают чистыми сторонами вверх и снова пишут числа 1, 2, ..., 99. Для каждой карточки складывают два ее числа и 99 полученных сумм перемножают. Докажите, что результат четен.

Задача 32. Каждое целое число покрашено либо в красный, либо в синий цвет. Доказать, что найдётся цвет со следующим свойством: для каждого натурального числа k имеется бесконечно много чисел этого цвета, которые делятся на k.

Задача 33. 1000 яблок разложены в несколько корзин. Можно убирать корзины и вынимать яблоки из корзин. Докажите, что можно добиться того, чтобы во всех корзинах стало поровну яблок и общее число оставшихся яблок было не меньше 100.

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/v6w82mjplg6sp7u/8%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2005%2028.10.pdf?dl=0

Занятие 28 октября: Доказательство от противного

Задача 1. По кругу лежит 15 шариков двух цветов. Докажите, что найдутся два соседних шарика одного цвета.

Задача 2. На острове живут только рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. На собрании островитян по случаю дня рождения острова некоторые участники собрания заявили, что среди собравшихся лжецов больше, чем рыцарей. Докажите, что на собрании были и лжецы, и рыцари.

Задача 3. С числами можно выполнять следующие операции: умножать на два или произвольным образом переставлять цифры (нельзя только ставить нуль на первое место). Можно ли из 1 получить 74? 112?

Задача 1. Шестеро осликов съели 14 конфет. Докажите, что найдутся два ослика, съевших одинаковое количество конфет.

Задача 2. Можно ли расставить числа в квадратной таблице 5×5 так, чтобы сумма чисел в каждой строке была больше 100, а в каждом столбце — меньше 100?

Задача 3. Каждая точка числовой оси, координата которой – целое число, покрашена либо в красный, либо в синий цвет. Доказать, что найдётся цвет со следующим свойством: для каждого натурального числа k имеется бесконечно много точек этого цвета, координаты которых делятся на k.

Задача 4. Каждый из голосующих на выборах вносит в избирательный бюллетень фамилии 10 кандидатов. На избирательном участке находится 11 урн. После выборов выяснилось, что в каждой урне лежит хотя бы один бюллетень и при всяком выборе 11 бюллетеней по одному из каждой урны найдется кандидат, фамилия которого встречается в каждом из выбранных бюллетеней. Докажите, что по крайней мере в одной урне все бюллетени содержат фамилию одного и того же кандидата.

Домашняя на 28 октября: Трапеции

Площадь треугольника равна , где a — длина стороны, а h — длина опущенной на эту сторону высоты.

Трапеция — четырёхугольник, две стороны которого (основания) параллельны, а две другие (боковые) — нет.

Высота трапеции — отрезок, проведённый из вершины к противоположному основанию, и перпендикулярный ей.

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, — параллельна третьей стороне и равна её половине.

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон — параллельна основаниям и равна их полусумме.

Задача 17. Биссектрисы углов при одном основании трапеции пересекаются на другом её основании. Докажите, что второе основание равно сумме боковых сторон.

Задача 18. Площадь треугольника 16. Найдите площадь трапеции, которую отсекает от треугольника его средняя линия.

Задача 19. Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований трапеции, разбивает её на две равные по площади части.

Задача 20. В трапеции ABCD (AD — большее основание) диагональ AC перпендикулярна стороне CD и делит угол BAD пополам. Известно, что ∠CDA = 60°, а периметр трапеции равен 2. Найдите AD.

Задача 21. Трапеция разбита диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равны по площади.

Задача 22. Докажите, что середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Задача 23. Пусть M и N — середины оснований трапеции. Докажите, что если прямая MN перпендикулярна основаниям, то трапеция — равнобедренная.

Задача 24. С помощью циркуля и линейки постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам.

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/sek8pvkqke1pm51/8%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2004%2021.10.pdf?dl=0

Занятие 21 октября: Трапеции

Исходный рубеж

Задача 1. Докажите, что у параллелограмма противоположные углы равны.

Задача 2. Докажите признак параллелограмма: если противолежащие стороны четырёхугольника попарно равны, то это параллелограмм.

Задача 3. Диагонали разбили четырёхугольник на четыре равных треугольника. Что это за четырёхугольник?

Основной листок

Задача 1. На сторонах AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки M, N, P и Q так, что AM = CP, BN = DQ, BM = DP, NC = QA. Докажите, что ABCD и MNPQ — параллелограммы.

Задача 2. Доказать, что у равнобедренной трапеции диагонали и углы при основаниях равны.

Задача 3. Доказать, что если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

Задача 4. Доказать, что если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

Задача 5. Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению высоты, опущенной из одной из вершин к стороне параллелограмма, на эту сторону.

Задача 6. Докажите, что площадь трапеции равна половине произведения высоты.

Задача 7. По теореме о средней линии треугольника отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине. Докажите, что средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон — параллельна основаниям и равна их полусумме.

Задача 8. Найдите меньшее основание равнобедренной трапеции, если высота, проведённая из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки, один из которых на 5 больше другого.

Задача 9. Пусть M и N — середины оснований трапеции. Докажите, что если прямая MN перпендикулярна основаниям, то трапеция — равнобедренная.

Задача 10. Докажите, что биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются на средней линии.

Задача 11. С помощью циркуля и линейки постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам.

Первый листок

Задача 1. Доказать, что если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

Задача 2. Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению высоты, опущенной из одной из вершин к стороне параллелограмма, на эту сторону.

Задача 3. Докажите, что площадь трапеции равна половине произведения высоты.

Задача 4. По теореме о средней линии треугольника отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине. Докажите, что средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон — параллельна основаниям и равна их полусумме.

Задача 5. Найдите меньшее основание равнобедренной трапеции, если высота, проведённая из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки, один из которых на 5 больше другого.

Задача 6. Пусть M и N — середины оснований трапеции. Докажите, что если прямая MN перпендикулярна основаниям, то трапеция — равнобедренная.

Задача 7. Докажите, что биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются на средней линии.

Задача 8. С помощью циркуля и линейки постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам.

Задача 9. Докажите теорему о средней линии треугольника.

Задача 10. Основания трапеции равны a и b (a > b). Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.

Последний листок

Задача 1. На каждом из рисунков найти все пары равных треугольников и доказать их равенство.

Задача 2. Один из углов параллелограмма на 50° меньше другого. Найдите углы параллелограмма.

Задача 3. Докажите свойство параллелограмма: у параллелограмма противолежащие стороны равны.

Задача 4. Докажите свойство параллелограмма: диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Задача 5. Докажите признак параллелограмма: если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.

Задача 6. Две стороны четырёхугольника параллельны, а две другие равны. Является ли этот четырёхугольник параллелограммом?

Задача 7. Докажите свойство прямоугольника: диагонали прямоугольника равны.

Задача 8. Докажите признак прямоугольника: если диагонали параллелограмма равны, то это прямоугольник.

Задача 9. Найдите углы ромба, если высота, проведённая из вершины тупого угла, делит противолежащую сторону пополам.

Задача 10. Доказать, что у равнобедренной трапеции диагонали и углы при основаниях равны.

Задача 11. Доказать, что если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

 


Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 187;