Занятие 25 ноября: Рассуждения



Задача. Какое наибольшее число трёхклеточных уголков можно вырезать из клетчатого квадрата 8×8?

Задача. Какое наименьшее число клеточек на доске 8×8 можно закрасить в чёрный цвет так, чтобы была хотя бы одна закрашенная клетка:

Задача. в любом квадратике 2×2?

Задача. в любом уголке из трёх клеточек?

Задача. Вдоль границ каждой клетки шахматной доски положили спички. Необходимо убрать несколько спичек, чтобы ладья могла добраться с любого поля на любое, не перепрыгивая через спички. Какое минимальное количество спичек надо убрать?

Задача. Несколько ящиков вместе весят 10 тонн, причем каждый из них весит не более одной тонны. Сколько трехтонок заведомо достаточно, чтобы увезти этот груз?

 

Домашняя на 25 ноября: Разнобой

Задача 50. Илья Муромец воюет со Змеем Горынычем. За один удар Илья может срубить не более четырёх голов. Когда Илья отрубает ему одну голову, вырастает еще три. Когда одним ударом срубает три головы, вырастает только одна. Когда одним ударом отрубает две головы, то вырастает четыре. Когда отрубает четыре, ничего не вырастает. Может ли Илья победить, если голов в начале битвы было 3?

Задача 51. Король дал двум своим мудрецам задание: «Завтра на каждого из вас наденут либо белый, либо чёрный колпак, и каждому вручат две таблички — белую и чёрную. Вы увидите только колпак товарища, но не сможете обмениваться никакой информацией. По команде вы одновременно поднимете одну из табличек. Испытание будет пройдено, если хотя бы у одного из вас цвет колпака совпадёт с цветом поднятой им таблички». У мудрецов есть ровно сутки, чтобы придумать, как справиться с головоломкой короля. Могут ли они гарантированно пройти испытание?

Задача 52. Можно ли натуральные числа 1, 2, ... , 20, 21 разбить на группы из трёх чисел, в каждой из которых наибольшее число равно сумме двух остальных?

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/e6qj2a4cavjonew/8%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2008%2018.11.pdf?dl=0

Занятие 18 ноября: Снова рассуждения

Задача. В волейбольном турнире каждая команда сыграла с каждой. При этом 20% команд не выиграли ни одной игры. Сколько команд участвовало в турнире?

Задача. Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 2016?

Задача. Доказать, что из любых 2011 целых чисел найдутся два, разность которых делится на 2010.

Задача. 2011 мартышек сидят по кругу. Одни мартышки грустные, другие весёлые. Каждая из них по очереди произнесла фразу: «Обе мои соседки — грустные». Если про мартышку солгали, она сразу обижается и грустнеет. Если про мартышку сказали правду, она сразу радуется и веселеет. Когда весёлых мартышек больше: в начале или в конце?

Задача. В турнире участвовали 22 команды, каждые две команды сыграли между собой ровно один раз. За победу давали 2 очка, за ничью — 1 очко, за проигрыш — 0 очков. Петя говорит, что больше всех очков набрала команда, сыгравшая все матчи вничью. Может ли такое быть?

 

Домашняя на 18 ноября: Рассуждения

Задача 42. Кук заявил, что высадится на остров каннибалов, если не будет дождя, и хотя бы один из его спутников возьмёт с собой ружьё. Сформулируйте, в каком случае он не будет высаживаться на остров.

Задача 43. За круглым столом сидят 7 дипломатов. Они должны провести по одной беседе друг с другом. Два дипломата будут беседовать только в том случае, если они окажутся рядом. После того, как каждый из дипломатов закончил переговоры со своими соседями, дипломаты встают и занимают новые положения (некоторые при этом могут сесть на те же места, что и раньше). С каким минимальным количеством пересаживаний может пройти встреча?

Задача 44. На столе лежат пятьдесят монет: 25 орлом вверх, 25 решкой вверх. За один ход разрешается переворачивать любые две монеты. Можно ли за несколько ходов добиться того, чтобы все монеты лежали решкой вверх?

Задача 45. В Бермудском Треугольнике обитало несколько кракенов. Утром 21 декабря 2012 года некоторые кракены решили схрумкать других кракенов. Кракен называется толстячком, если он схрумкал хотя бы трёх других кракенов. К вечеру в Бермудском Треугольнике обитал только один кракен, а всего за этот день ровно 10 кракенов становились толстячками. Какое минимальное количество кракенов жило в Бермудском Треугольнике утром? (Сам себя кракен не хрумкает, двое одного не хрумкают.)

Задача 46. В стране несколько городов, попарные расстояния между которыми различны. Путешественник отправился из города А в самый удаленный от него город Б, оттуда — в самый удаленный от него город С и т. д. Докажите, что если С не совпадает с А, то путешественник никогда не вернется в А.

Задача 47. В клуб пришли 20 джентльменов: некоторые — в шляпах, некоторые — без. Затем время от времени один из джентльменов снимал с себя шляпу и надевал на голову другому джентльмену, у которого в этот момент шляпы не было. Через час десять джентльменов заявили: „Я отдавал шляпу чаще, чем получал!” Сколько джентльменов пришли в клуб в шляпах?

Задача 48. Дано 2017 чисел. Сумма любых 5 из них положительна. Докажите, что сумма всех чисел тоже положительна.

Задача 49. По окончании конкурса бальных танцев, участники (в беспорядке, мальчики и девочки) назвали число своих выступлений: 3, 3, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6. Не ошибся ли кто-нибудь?

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/513se7045j5dag5/8%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2007%2011.11.pdf?dl=0


Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 209;