Занятие 11 ноября: Рассуждения



Задача. Постройте отрицания к следующим утверждениям:

a)  Некоторые школьники забыли дома голову.

b)  Максим решил сегодня все задачи.

c)  Петя или Яша купили нам печенье.

d)  Шура любит кошек и хурму.

e)  Каждый школьник любит шоколад или чипсы.

f)  Никто из семиклассников не читал ни Диккенса, ни Дюма.

g)  Хотя бы одна кошка всегда сидит у меня на коленях.

h)  Не все лошади кушают овёс и сено.

Задача. В стране Пунктуальность все люди, у которых есть будильники, встают вовремя. Верно ли, что в этой стране люди, у которых нет будильников, не встают вовремя? Верно ли, что люди, которые не встают вовремя, не имеют будильников?

Задача. За круглым столом сидят 25 мальчиков и 25 девочек. Докажите, что у кого-то из сидящих за столом оба соседа — мальчики.

Задача. Пять рыцарей надели пять плащей, и каждому плащ оказался короток. Тогда рыцари, сняв плащи, выстроились по росту. Самый высокий рыцарь взял себе самый длинный плащ, второй взял себе самый длинный плащ из оставшихся и т.д. Рыцарь самого маленького роста взял себе самый короткий плащ. Докажите, что и в этом случае каждому рыцарю плащ окажется короток.

Задача. В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трех сортов, причем в каждом ящике лежат яблоки только одного сорта. Найдутся ли 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта?

Задача. В конференции принимали участие 19 ученых. После конференции каждый ученый отправил 2 или 4 письма другим участникам. Могло ли случиться так, что каждый человек получил ровно 3 письма?

Задача. Группа детей несла воздушные шарики. Каждый мальчик нес 4 воздушных шарика, а каждая девочка несла 3 воздушных шарика. Дети начали баловаться и прокалывать воздушные шарики (необязательно свои). Каждый мальчик проколол два шарика, а каждая девочка проколола один шарик. Могло ли в результате остаться целыми 15 шариков?

Задача. Гриб называется плохим, если в нём не меньше 10 червей. В лукошке 91 плохой гриб и 10 хороших. Могут ли все грибы в лукошке стать хорошими после того, как некоторые червяки переползут в другие грибы?

Домашняя на 11 ноября: Разнобой

Задача 34. Одноклассники Аня, Боря и Вася живут на одной лестничной клетке. В школу они идут с постоянными, но различными скоростями, не оглядываясь и не дожидаясь друг друга. Но если кто-то из них успевает догнать другого, то дальше он замедляется, чтобы идти вместе с тем, кого догнал. Однажды первой вышла Аня, вторым Боря, третьим Вася, и какие-то двое из них пришли в школу вместе. На следующий день первым вышел Вася, вторым Боря, третьей Аня. Могут ли все трое прийти в школу вместе?

Задача 35. Артём, Катя и Аня играют в шахматы. Каждый сыграл по 10 партий. Сколько всего партий было сыграно? Могло ли быть так, что Артём сыграл с Катей больше партий, чем с Аней?

Задача 36. В городе Глупове каждый житель — полицейский, вор или обыватель. Полицейские всегда врут обывателям, воры — полицейским, обыватели — ворам, а во всех остальных случаях жители Глупова говорят правду. Однажды, когда несколько глуповцев водили хоровод, каждый сказал своему правому соседу: „Я — полицейский”. Сколько в этом хороводе было обывателей?

Задача 37. В таблице m×n расставлены числа так, что сумма чисел в любой строке или столбце равна 1. Докажите, что m=n.

Задача 38. Две команды разыграли первенство по десятиборью, причем за победу в каждом из видов команда получала 4 очка, за ничью — 2 очка и за проигрыш — 1 очко. Вместе обе команды набрали 46 очков. Сколько было ничьих?

Задача 39. Катя, Аня и Маша решали задачи. Чтобы дело шло быстрее, они купили конфет и условились, что за каждую решённую задачу девочка, решившая её первой, получает четыре конфеты, решившая второй — две, а решившая последней — одну. Девочки говорят, что каждая из них решила все задачи и получила 30 конфет, причём одновременных решений не было. Они ошибаются. Как вы думаете, почему?

Задача 40. Все натуральные числа покрасили в пять цветов. Докажите, что найдётся миллион чисел одного цвета с одинаковой суммой цифр.

Задача 41. В таблице 8×8 угловая клетка покрашена чёрным цветом, остальные белым. За ход можно одновременно поменять цвета всех клеток в столбце или строке. Можно ли через несколько ходов получить таблицу, покрашенную в белый цвет?10 школьников играли в снежки. Каждый попал снежком в пятерых товарищей. Докажите, что хотя бы два школьника попали друг в друга.

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/9rkndwkb4ot4i6i/8%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2006%204.11.pdf?dl=0

Занятие 4 ноября: Игра

Требуется в письменном виде сдавать полные решения задач. Если жюри признаёт написанный текст полным решением, команда получает 7 баллов. В противном случае с команды снимается 2 балла, а решение возвращается команде на доработку. Число попыток не ограничено.

При проверке жюри не объясняет, в чём заключаются ошибки или недочёты в непринятом решении. Может быть, допущена арифметическая ошибка или в обосновании не хватает всего одного перехода, а может быть, что решение полностью неверно.

Задача 1. На острове рыцарей и лжецов (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут) состоялась конференция, на которой 100 человек расселись за 10 многоугольными столами (необязательно одинаковыми) так, что с каждой стороны каждого стола сел ровно 1 человек. Каждый рыцарь заявил, что за его столом есть ещё рыцарь, а каждый лжец заявил, что за его столом все - лжецы. Какое наибольшее количество лжецов могло участвовать в конференции?

Задача 2. Если каждой девочке дать по одной шоколадке, а каждому мальчику по две, то шоколадок хватит. А если каждому мальчику дать по одной шоколадке, а каждой девочке по две, то их не хватит. А если девочкам не давать шоколадок вообще, то хватит ли каждому мальчику по три шоколадки?

Задача 3. На доске выписаны цифры 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Вставим между некоторыми из них знаки „ + ” так, чтобы сумма оказалась трёхзначным числом. Какое наибольшее число может получиться?

Задача 4. Игральный кубик бросают трижды. Среди всех возможных последовательностей результатов есть такие, в которых хотя бы один раз встречается шестёрка. Сколько их?

Задача 5. В некоторых ячейках стеклянной коробки 3×3×3 лежит по одной конфете. Алёша, Ваня и Серёжа смотрят на эту коробку с трёх сторон: Алёша — спереди, Ваня — сверху, а Серёжа — сбоку. Сколько конфет может лежать в коробке, если все они видят по 9 конфет?

Задача 6. На острове Невезения с населением 24 человека правительство решило провести пять реформ. Каждой реформой недовольна ровно половина всех граждан. Гражданин выходит на митинг, если он недоволен более чем половиной всех реформ. Какое максимальное число людей правительство может ожидать на митинге?

Задача 7. Четыре подружки поделили между собой 1001 конфету, при этом каждой девочке досталось конфет или столько же, сколько какой-то из её подружек, или ровно в два раза меньше, чем одной из них. Как могли распределиться конфеты?

Задача 8. За круглым столом сидят 7 дипломатов. Они должны провести по одной беседе друг с другом. Два дипломата будут беседовать только в том случае, если они окажутся рядом. После того, как каждый из дипломатов закончил переговоры со своими соседями, дипломаты встают и занимают новые положения (некоторые при этом могут сесть на те же места, что и раньше). С каким минимальным количеством пересаживаний может пройти встреча?

Задача 9. Имеется сто монет, каждая из которых лежит в одном из ста кошельков. На каждый кошелёк наклеена надпись: «Здесь лежит ровно одна монета». Оказалось, что ровно три надписи не соответствуют действительности. Докажите, что в одном из кошельков лежат ровно три монеты.

Задача 10. В каждой клетке доски 5×5 сидит жук. В некоторый момент времени каждый из жуков переполз на соседнюю по горизонтали или вертикали клетку. Обязательно ли после этого будут пустые клетки?

 


Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 311;