Занятие 10 февраля: Комбинаторика



Задача. В школьной столовой 5 кранов для умывания. Каждый может быть закрыт или открыт. Сколькими способами может течь вода в столовой?

Задача. Меню школьной столовой не меняется и состоит из 10 блюд. Для разнообразия Витя хочет каждый день заказывать такой набор блюд, который он еще ни разу не заказывал (при этом число блюд не важно — он может заказать все 10 блюд, а может заказать только одно или вовсе ни одного). Сколько дней он сможет так питаться?

Задача. Сколько различных (математических) аккордов можно взять на 10 выбранных клавишах рояля, если каждый аккорд содержит от 3 до 10 звуков?

Домашняя на 10 февраля: Комбинаторика

Задача 92. На вершину горы ведут пять тропинок. а) Сколько у туриста есть способов подняться на гору и потом спуститься с нее? б) А если турист не хочет спускаться по той же дороге, по которой он поднимался?

Задача 93. Злоумышленник пытается взломать кодовый замок сейфа. Из надёжных источников ему стало известно, что это чётное четырёхзначное число, вторая цифра которого нечётна. Сколько попыток ему потребуется, чтобы взломать сейф?

Задача 94. На танцплощадке собрались N юношей и N девушек. Сколькими способами они могут разбиться на пары для того, чтобы станцевать вальс?

Задача 95. Сколькими способами 15 пронумерованных бильярдных шаров могут распределиться по шести лузам?

Задача 96. Назовем натуральное число симпатичным, если в его записи встречаются только четные цифры. Сколько существует симпатичных четырехзначных чисел?

Задача 97. В заборе 20 досок, каждую надо покрасить в синий, зелёный или жёлтый цвет, причём соседние доски красятся в разные цвета. Сколькими способами это можно сделать?

Задача 98. Условия предыдущей задачи, но требуется ещё, чтобы хоть одна из досок обязательно была синей.

Занятие 3 февраля: Комбинаторика

Задача.

a) У Пети есть 10 разных конфет. Он хочет подарить 7 конфет своей лучшей подруге Маше. При этом самую вкусную конфету он хочет оставить себе. Сколькими способами он может собрать подарочный набор для Маши?

b) Тут Петю загрызла совесть, и он решил, что самую вкусную конфету надо подарить Маше. Сколькими способами теперь он сможет собрать подарочный набор?

c) Но пришла Маша, и Петя предложил ей самостоятельно взять себе любые 7 конфет. Сколькими различными способами Маша может выбрать себе эти конфеты?

Задача. Монету бросают трижды. Сколько различных последовательностей орлов и решек можно получить? А если монету бросать 100 раз?

Задача. В алфавите племени Умбо–Юмбо всего три буквы: А, У и О. Словом считается любая последовательность букв, содержащая 4 буквы. Сколько слов в языке племени Умбо–Юмбо?

 

Домашняя на 3 февраля: Комбинаторика

Задача 84. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова „конфета“?

Задача 85. В корзине сидят котята — четыре чёрных, шесть рыжих и два белых. Сколькими способами можно выбрать трёх котят так, чтобы они все были разной окраски?

Задача 86. Сколько существует пятизначных чисел, в записи которых встречаются только нечетные цифры, причем каждая цифра встречается ровно один раз?

Задача 87. На балу собрались 5 дам и 5 кавалеров. Сколькими способами они могут разбиться на пары?

Задача 88. Король решил выдать замуж трёх своих дочерей. Со всех концов света явились во дворец сто юношей. Сколькими способами дочери короля могут выбрать себе женихов?

Задача 89. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «математика»?

Задача 90. Сколько существует способов расположить в ряд пять 10-копеечных монет и три 50-копеечных монеты, если считать монеты одного достоинства одинаковыми?

Задача 91. Сколько способов составить из 15 различных бусинок браслет, если:

а) одинаковые браслеты — это те, которые отличаются друг от друга поворотом;

б) одинаковые браслеты — это те, которые отличаются друг от друга поворотом или переворотом?

Занятие 27 января: Комбинаторика

Задача. Вычислите: а) 5! · 6 б) 3! + 3! + 3! + 3! в) 2012!/2011!

Задача. В магазине продаются чашки пяти видов, блюдца трех видов и ложки четырех видов. Сколькими способами можно выбрать себе

а) чашку и блюдце,

б) чашку, блюдце и ложку;

в) два разных предмета?

Задача. Сколькими способами можно так поставить две ладьи на шахматной доске, чтобы они не били друг друга?

Задача. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «МИНСК»?

Задача. В футбольной команде 2 нападающих, 4 полузащитника, 4 защитника и 1 вратарь. Сколькими способами можно построить их в ряд так, чтобы первым стоял вратарь, за ним стояли защитники, за ними — полузащитники, и в конце — нападающие?

 

Занятий 13 и 20 января тоже не будет из-за отсутствия свободных аудиторий.

Домашняя на 13 января

Задача 79. На острове Невезения один из компьютеров оказался заражён вирусом. Этот вирус действует так: попав на некоторый компьютер К, он через секунду заражает пять ранее не инфицированных компьютеров, а сам компьютер К взрывает. Скольких компьютеров не досчитаются островитяне через 4 секунды после первого заражения?

Задача 80. В треугольнике ABC биссектриса AE равна отрезку EC. Найдите угол ABC, если известно, что AC = 2AB.

Задача 81. Числа 22013 и 52013 выписаны одно за другим в десятичной записи. Сколько цифр всего выписано?

Задача 82. Алиса и Боб решили поиграть. Они по очереди берут из мешка несколько конфет (хотя бы одну) и кладут их на стол. При этом можно класть не больше половины от числа конфет, лежавших на столе перед ходом. Перед первым ходом, который делает Алиса, на столе лежат 4 конфеты. Конфет в мешке неограниченно много. Выиграет тот, после хода которого на столе окажется 50 конфет. Кто из них может гарантировать себе победу вне зависимости от игры соперника?

Задача 83. На одной из больших диагоналей шахматной доски 8×8 выставлены 8 ладей. Какое наименьшее число ферзей достаточно выставить на доску так, чтобы они побили все свободные поля? Поле, на котором стоит ферзь, считается побитым. Сквозь ладьи ферзь бить не может.


Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 387;