Домашняя на 31 марта: Делимость



Домашняя на 5 мая: Вписанные углы

‍‍Задача 155. Докажите, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, совпадает с серединой гипотенузы.

‍‍Задача 156. Из точки P, расположенной внутри острого угла BAC, опущены перпендикуляры PC1 и PB1 на прямые AB и AC. Доказать, что углы C1AP и C1B1P равны.

‍‍Задача 157. Найдите радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника с боковой стороной и углом при вершине 120°.

‍‍Задача 158. Основание равностороннего треугольника служит диаметром полуокружности. На какие части делятся стороны треугольника полуокружностью, а полуокружность — сторонами треугольника?

‍‍Задача 159. Из произвольной точки M, лежащей внутри угла с вершиной A, опущены перпендикуляры MP и MQ на стороны угла. Из точки A опущен перпендикуляр AK на отрезок PQ. Докажите, что углы PAK и MAQ равны.

‍‍Задача 160. Две окружности пересекаются в точках M и K. Через них проведены прямые AB и CD, пересекающие первую окружность в точках A и C, а вторую в точках B и D. Доказать, что AC параллельна BD.

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/265au83dcsw368g/8%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2023%2021.04.pdf?dl=0

Занятие 21 апреля: Вписанные углы

Центральный угол (угол с вершиной в центре окружности) равен угловой величине дуги, на которую он опирается.

‍‍Задача. Теорема: вписанный угол, равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу.

‍‍Задача. Теорема: хорды, опирающиеся на равные дуги одной окружности, равны.

‍‍Задача. Треугольник ABC

 равнобедренный. Радиус OA

 описанного круга образует с основанием AC

 угол OAC,

 равный 20

°.

 Найдите угол BAC.

 

Домашняя на 21 апреля: Геометрия

Задача 146. Доказать, что если в треугольнике медиана совпадает с высотой, то он равнобедренный.

Задача 147. Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого стороны попарно параллельны. Не используя других его свойств, докажите свойство параллелограмма: диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Задача 148. Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC, причём угол ABM равен углу ACB и угол CBN равен углу BAC. Докажите, что треугольник BMN равнобедренный.

Задача 149. Дан равнобедренный треугольник ABC (AB=AC). На продолжении стороны AC за точку C отложен отрезок CD, равный BC. Оказалось, что BD=AB. Найдите углы треугольника ABC.

Задача 150. Могут ли углы при основании трапеции быть один острым, один – тупым?

Задача 151. Из точки, данной на окружности, проведены две хорды, каждая из которых равна радиусу. Найдите угол между ними.

Задача 152. Некоторая прямая пересекает параллельные прямые a‍ и b‍ в точках A и B‍ соответственно. Биссектриса одного из образовавшихся углов с вершиной B пересекает прямую a в точке C. Найдите AC, если AB = 1.

 

Задача 153. Прямая, проведённая через вершину A‍ треугольника ABC‍ перпендикулярно его медиане BD,‍ делит эту медиану пополам. Найдите отношение сторон AB и AC.

‍‍Задача 154. Сторона BC‍ параллелограмма ABCD‍ вдвое больше стороны AB.‍ Биссектрисы углов A и B‍ пересекают прямую CD‍ в точках M‍ и N,‍ причём MN = 12.‍ Найдите стороны параллелограмма.

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/64hkxved4l4x0pw/8%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2022%207.04.pdf?dl=0

Занятие 7 апреля: Делимость

Задача. Из утверждений "число a делится на 2", "число a делится на 4", "число a делится на 12" и "число a делится на 24" три верных, а одно неверное. Какое?

Задача. Ковбой Билл играл на одноруком бандите. Если выпадают "три семёрки", то он выигрывает 80 долларов, а если "три яблока", то 24 доллара. Любая другая комбинация - - проигрыш. Билетик для игры стоит 4 доллара. Однажды он похвастался: "Я начал с 10 долларов, а через час у меня была тысяча!" Могло ли так быть?

Задача. На Луне ходят монеты достоинством 1, 15 и 50 фартингов. Незнайка отдал за покупку несколько монет и получил на сдачу на одну монету больше. Какую наименьшую сумму могла стоить покупка?

Задача. Существует ли точный квадрат, в записи которого 100 нулей, 101 единица, 102 двойки и более никаких других цифр?

Задача. Докажите, что если 7a + b делится на 11, то и 4ab делится на 11.

Задача. Из Южной Америки в Россию 2010 кораблей везут бананы, лимоны и ананасы. Число бананов на каждом корабле равно числу лимонов на остальных кораблях вместе взятых, а число лимонов на каждом корабле равно числу ананасов на остальных кораблях вместе взятых. Докажите, что общее число фруктов делится на 31.

Домашняя на 31 марта: Делимость

Задача 138. Может ли быть верным равенство К×О×Т = У×Ч×Ё×Н×Ы×Й, если в него вместо букв подставить цифры от 0 до 9? Разные буквы соответствуют разным цифрам.

Задача 139. Найдите все пары простых чисел которые отличаются друг от друга на 17.

Задача 140. Найдите наименьшее число n, такое, что n! делится на 990.

Задача 141. На сколько нулей заканчивается 1000!?

Задача 142. Два восьмизначных числа отличаются перестановкой цифр. Может ли их разность быть равной 20072008?

Задача 143. Найдите число, дающее при делении на 2 остаток 1, при делении на 3 остаток 2, на 4 — остаток 3, на 5 — остаток 4, на 6 — остаток 5, на 7 — остаток 6.

Задача 144. Докажите, что если a, b, c — нечетные числа, то хотя бы одно из чисел ab − 1, bc − 1, ca − 1 делится на 4.

Задача 145. Докажите, что если 7a + b делится на 11, то и 4ab делится на 11.

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/1kdgyikqqx71ffp/8%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2021%2024.03.pdf?dl=0


Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 104;