Домашняя на 21 октября: Параллелограммы



Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Прямоугольник — параллелограмм, у которого углы равны 90°.

Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны между собой.

Задача 9. Найдите углы параллелограмма, если они относятся друг к другу как 3 : 7.

Задача 10. Докажите свойство прямоугольника: диагонали прямоугольника равны.

Задача 11. Докажите признак параллелограмма: если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм.

Задача 12. В параллелограмме ABCD отрезки BE и BF перпендикулярны сторонам AD и CD, а острый угол равен 60°. Найти углы четырёхугольника BFDE.

Задача 13. Найдите углы ромба, если высота, проведённая из вершины тупого угла, делит противолежащую сторону пополам.

Задача 14. В параллелограмме ABCD биссектрисы BL и CL углов B и C пересекаются в точке L, которая лежит на стороне AD. AD = a. Чему равна AB?

Задача 15. В треугольнике ABC биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D; прямая, проведённая через точку D параллельно CA, пересекает сторону AB в точке E; прямая, проведённая через точку E параллельно BC, пересекает сторону AC в F. Докажите, что EA = FC.

Задача 16. Точки M и N — середины соседних сторон соответственно BC и CD параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые DM и BN пересекаются на диагонали AC.

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/ubipt3qd90naulf/8%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2003%2021.10.pdf?dl=0

Занятие 14 октября: Параллелограммы

Исходный рубеж

Задача 1. Докажите, что накрест лежащие углы при параллельных прямых равны.

Задача 2. Равные отрезки AB и CD пересекаются в точке O, причём AO = OD. Докажите равенство треугольников ABC и DCB.

Задача 3. Медиана AD треугольника ABC продолжена за точку D на отрезок DE, равный AD. Доказать, что треугольники ABC и ADC равны.

Последний листок

Задача 1. Каждом из рисунков найти все пары равных треугольников и доказать их равенство.

Задача 2. Один из углов параллелограмма на 50° меньше другого. Найдите углы параллелограмма.

Задача 3. Докажите свойство параллелограмма: у параллелограмма противолежащие стороны равны.

Задача 4. Докажите свойство параллелограмма: диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Задача 5. Докажите признак параллелограмма: если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.

Задача 6. Докажите признак параллелограмма: если противоположные углы четырёхугольника попарно равны, то это параллелограмм.

Задача 7. Две стороны четырёхугольника параллельны, а две другие равны. Является ли этот четырёхугольник параллелограммом?

Задача 8. Докажите свойство прямоугольника: диагонали прямоугольника равны.

Задача 9. Докажите признак прямоугольника: если диагонали параллелограмма равны, то это прямоугольник.

Задача 10. Найдите углы ромба, если высота, проведённая из вершины тупого угла, делит противолежащую сторону пополам.

Основной листок

Задача 1. На стороне AC равностороннего треугольника ABC как на диаметре построили окружность с центром в точке O. Она пересекает стороны AB и BC в точках М и N соответственно. Найти угол MON.

Задача 2. На сторонах AB, BC и AC правильного треугольника ABC взяты такие точки D, E и F соответственно, что AD = BE = CF. Докажите, что ∆DEF – тоже правильный.

Задача 3. Докажите свойство параллелограмма: диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Задача 4. Докажите признак параллелограмма: если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.

Задача 5. Докажите признак параллелограмма: если противоположные углы четырёхугольника попарно равны, то это параллелограмм.

Задача 6. Две стороны четырёхугольника параллельны, а две другие равны. Является ли этот четырёхугольник параллелограммом?

Задача 7. (рис.) На продолжениях сторон AD и BC параллелограмма взяты точки K и L, что AK = CL. Доказать, что KBLD – параллелограмм.

Задача 8. Отрезки AB и CD пересекаются. Докажите, что если отрезки AC, CB, BD и AD равны, то луч AB является биссектрисой угла CAD, луч CD — биссектрисой угла ACB, а CD перпендикулярно AB.

Задача 9. Докажите признак прямоугольника: если диагонали четырёхугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то это прямоугольник.

Задача 10. Точки пересечения биссектрис внутренних углов параллелограмма являются вершинами некоторого четырёхугольника. Докажите, что этот четырёхугольник — прямоугольник.

Первый листок

Задача 1. На продолжениях сторон AB, BC и AC правильного треугольника ABC взяты такие точки D, E и F соответственно, что AD = BE = CF. Докажите, что ∆DEF – тоже правильный.

Задача 2. Докажите признак параллелограмма: если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.

Задача 3. Отрезки AB и CD пересекаются. Докажите, что если отрезки AC, CB, BD и AD равны, то луч AB является биссектрисой угла CAD, луч CD — биссектрисой угла ACB, а CD перпендикулярно AB.

Задача 4. Биссектриса одного из углов параллелограмма делит противоположную сторону на отрезки длины a и b. Найти длины сторон прямоугольника.

Задача 5. Треугольники ABC и AB1C1 имеют общую медиану AM. Докажите, что BC1 = B1C.

Задача 6. В треугольнике ABC биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D; прямая, проведённая через точку D параллельно CA, пересекает сторону AB в точке E; прямая, проведённая через точку E параллельно BC, пересекает сторону AC в F. Докажите, что EA = FC.

Задача 7. Доказать, что средняя линия треугольника параллельна стороне и равна её половине.

Задача 8. Доказать, что средняя линия трапеции параллельна сторонам и равна их полусумме.

Задача 9. Вершины параллелограмма A1B1C1D1 лежат на сторонах параллелограмма ABCD (точка A1 лежит на стороне AB, точка B1 — на стороне BC и т. д.). Докажите, что центры обоих параллелограммов совпадают.

 


Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 98;