Домашняя на 23 декабря: Разные



Задача 73. У чародея обучается 29 учеников. Из них 15 уже умеют превращать барабан в зайца, 21 — зажигать свечу взглядом. Сколько учеников умеют делать и то, и другое, если известно, что среди только один еще не научился ни тому, ни другому?

Задача 74. В Карибском море плавают пираньи и барракуды. В понедельник каждая пиранья съела ровно по одной барракуде. Во вторник каждая выжившая барракуда съела ровно по одной пиранье. В среду опять каждая оставшаяся в живых пиранья сожрала по одной барракуде. Так продолжалось до воскресенья. В воскресенье последняя пиранья съела последнюю барракуду и осталась единственной рыбой во всем Карибском море. А сколько рыб было там первоначально?

Задача 75. В кружок ходит 15 человек.Сколькими способами можно выбрать двоих из них для дежурства в классе?

Задача 76. В компании из 12 аборигенов каждого попросили назвать какого-нибудь лжеца. Оказалось, что каждого назвали лжецом ровно один раз. Сколько в этой компании рыцарей?

Задача 77. На прямоугольном куске хлеба лежит кружок колбасы. Докажите, что этот бутерброд можно разрезать одним прямолинейным разрезом на два так, чтобы и хлеб, и колбаса разделились поровну.

Задача 78. Когда комиссия приехала в психбольницу, там находились 9 врачей и 49 пациентов. Комиссия попросила каждого указать на двух врачей. Каждый врач показал на двух других, а пациенты показали на кого угодно. Всегда ли комиссия сможет выявить хотя бы одного пациента?

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/cbreb1uexytvz4f/8%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2012%2016.12.pdf?dl=0

Занятие 16 декабря: Письменная работа

Задача. Контрольную работа называем лёгкой, если на любой парте существует ученик, решивший её хотя бы наполовину, и к тому же не менее половины класса решило её полностью. Дайте определение сложной контрольной работы.

Задача. За круглым столом сидят 10 человек. Сколько рыцарей может быть за столом, если каждый из сидящих произносит одну и ту же фразу: «Оба моих соседа — лжецы».

Задача. Известно, что среди философов каждый седьмой — математик, а среди математиков каждый пятый — философ. Кого больше — философов или математиков?

Задача. Таблица 9×9 заполнена ненулевыми цифрами так, что в каждой строке встречаются все цифры от 1 до 9. Таблица симметрична относительно диагонали, соединяющей левый верхний и правый нижний углы таблицы. Докажите, что на этой диагонали есть цифра 7.

Домашняя на 16 декабря: Рассуждения

Задача 65. 4 кузнеца должны подковать одну лошадь. Каждый кузнец тратит на одну подкову 5 минут. Какое наименьшее время они должны потратить на работу? (Учтите, лошадь не может стоять на двух и меньше ногах.)

Задача 66. Можно ли на чашечных весах расположить несколько шести- и восьмифунтовых гирь и одну 17-фунтовую так, чтобы весы оказались в равновесии?

Напоминаю, что «несколько» может означать любое количество, в том числе и 0, и 1, если в задаче не сказано иного.

Задача 67. В стакан, в котором находятся 1000 бактерий, поместили один вирус. Каждую минуту происходит следующее: каждый вирус съедает одну бактерию, после чего каждый вирус делится на два вируса, а каждая бактерия — на две бактерии. Можно ли утверждать, что через некоторое время в стакане не останется ни одной бактерии?

Задача 68. Может ли и сумма, и произведение нескольких натуральных чисел быть равными 99?

Задача 69. Несколько гангстеров сидят за круглым столом и делят награбленное, причём доля каждого составляет ровно половину от суммы долей его соседей справа и слева. Докажите, что всем денег достанется поровну.

Задача 70. В течение рабочего дня каждый депутат посетил заседание парламента. Все депутаты приходили и уходили в разное время, но никто из них, уходя, больше не возвращался. Оказалось, что любые два депутата встретились на заседании. Докажите, что был момент, когда все депутаты присутствовали.

Задача 71. Книга состоит из 30 рассказов объёмом 1, 2, … 30 страниц. Рассказы печатаются с первой страницы, каждый рассказ начинается с новой страницы. Какое наибольшее количество рассказов может начинаться с нечётной страницы?

Задача 72. В тёмной комнате на столе лежат 12 монет. Известно, что 6 из них лежат вверх орлом, остальные решкой. Вы можете переворачивать монеты, однако не можете на ощупь отличить орёл от решки. Как разделить монеты на две одинаковые группы так, чтобы в них было равное число монет, лежащих вверх орлом?

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/1vm525pit00z8cv/8%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2011%2009.12.pdf?dl=0

Занятие 9 декабря: Оценка + пример

Задача. В классе 27 учеников. Среди любых 11 учеников есть хотя бы одна девочка, а среди любых 18 учеников — хотя бы один мальчик. Сколько мальчиков и сколько девочек в классе?

Задача. На столе лежат четыре карточки, на которых сверху написано: «А», «Б», «4», «5». Что написано на противоположных сторонах карточек, неизвестно. Какое наименьшее число карточек надо перевернуть, чтобы проверить истинность утверждения: «Если на одной стороне карточки написано чётное число, то на другой — гласная буква»?

Задача. Два муравья проползли каждый по своему замкнутому маршруту на доске 7×7. Каждый полз только по сторонам клеток доски и побывал в каждой из 64 вершин клеток ровно один раз. Каково наименьшее возможное число таких сторон, по которым проползали и первый, и второй муравьи?

 

Домашняя на 9 декабря: Оценка + пример

Задача 60. Каким наибольшим количеством монет в 3 и 5 коп. можно набрать сумму в 1000 копеек?

Задача 61. 8 кузнецов должны подковать 10 лошадей. Каждый кузнец тратит на одну подкову 5 минут. Какое наименьшее время они должны потратить на работу? (Учтите, лошадь не может стоять на двух ногах.)

Задача 62. Какое наименьшее значение может принимать сумма трёх натуральных чисел, десятичная запись которых всех вместе содержит каждую из цифр ровно один раз?

Задача 63. Квадратная площадь размером 8м × 8м выложена квадратными плитами 1м × 1м двух цветов: белого и красного — так, что никакие две красные плиты не соприкасаются друг с другом (то есть не имеют общей стороны или вершины). Сколько может быть красных плит?

Задача 64. На старт «Весёлого забега» на 3000 м выходит команда из трёх математиков. Им выдается один одноместный самокат. Дорожка прямая, стартуют все одновременно, а в зачёт идет время последнего пришедшего на финиш. Каково минимальное возможное время прохождения дистанции, если бегают все трое со скоростью 125 м/мин, а на самокате ездят со скоростью 250 м/мин?

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/t5hnmqizke0nw1d/8%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2010%2002.12.pdf?dl=0

Занятие 2 декабря: Оценка + пример

Задача. У каждого из 222 шестиклассников на Малом Мехмате не более двух близких приятелей. Оказавшись в одном помещении, два близких приятеля начинают непрерывно болтать, и всякая работа в этом помещении прекращается. Какое наименьшее число аудиторий необходимо иметь Евгению Александровичу, чтобы обеспечить бесперебойную работу всей параллели 6 класса?

Задача. Новогодняя гирлянда, висящая вдоль школьного коридора, состоит из красных и синих лампочек. Рядом с каждой красной лампочкой обязательно есть синяя. Какое наибольшее количество красных лампочек может быть в этой гирлянде, если всего лампочек 50?

Домашняя на 2 декабря: Оценка + пример

Задача 53. В квадратной таблице размером 100×100 некоторые клетки закрашены. Каждая закрашенная клетка является единственной закрашенной клеткой либо в своем столбце, либо в своей строке. Какое наибольшее количество клеток может быть закрашено?

Задача 54. Зайчиха купила для своих семерых зайчат семь барабанов разных размеров и семь пар палочек разной длины. Если зайчонок видит, что у него и барабан больше, и палочки длиннее, чем у кого-то из братьев, он начинает громко барабанить. (А просто так зайчонок барабанить не станет.)

a) Какое наибольшее число зайчат может начать барабанить после того, как зайчиха подарит им барабаны и палочки?

b) А наименьшее?

Задача 55. В аптеке на чашечных весах взвешивают точную дозу лекарства – от 1 до 15 грамм. Какое наименьшее число гирек (любого веса) должно быть в аптеке, если гирьки кладутся на одну чашку весов, а лекарство на другую?

Задача 56. На клетчатой доске 100×100 закрасили n доминошек. Оказалось, что в каждой строке и в каждом столбце есть хотя бы одна закрашенная клетка. При каком наименьшем n это возможно?

Задача 57. Шестизначное число назовём неразложимым, если оно не раскладывается в произведение трёхзначного и четырёхзначного числа. Какое наибольшее количество неразложимых чисел может идти подряд?

Задача 58. В пять горшочков, стоящих в ряд, Кролик собирается налить три килограмма мёда (не обязательно в каждый и не обязательно поровну). Кролик обещал Винни-Пуху, что после этого Пух сможет взять любые два горшочка, стоящие рядом. Как экономному Кролику разлить весь мёд так, чтобы Пух смог унести как можно меньше мёда?

Задача 59. У Чебурашки есть набор из 36 камней массами 1 г, 2 г, ..., 36 г, а у Шапокляк есть суперклей, одной каплей которого можно склеить два камня в один (соответственно, можно склеить три камня двумя каплями и так далее). Шапокляк хочет склеить камни так, чтобы Чебурашка не смог из получившегося набора выбрать один или несколько камней общей массой 37 г. Какого наименьшего количества капель клея ей хватит, чтобы осуществить задуманное?

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/ykph8jc0brqzwz9/8%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2009%2025.11.pdf?dl=0


Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 386;