Домашняя на 24 марта: Заканчиваем комбинаторику



Задача 131. Каждую клетку квадратной таблицы 2x2 покрасили в черный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы?

Задача 132. Доктор Ватсон должен отдежурить в больнице 6 дней в месяц. Сколько для него возможно различных вариантов расписания дежурств на июнь (в котором, как известно, 30 дней)?

Задача 133. Каждый из 65 школьников написал по три контрольные работы и получил за каждую из них одну из оценок 2, 3, 4 или 5. Докажите, что существуют по крайней мере два школьника, оценки которых неотличимы (то есть если один получил, например, 5, 3, 3, то и другой получил те же оценки 5, 3, 3, причём в том же порядке).

Задача 134. Сколькими способами можно разрезать ожерелье, состоящее из 30 различных бусин на 8 частей (резать можно только между бусинами)?

Задача 135 Сколько существует целых чисел от 0 до 999999, в десятичной записи которых нет двух стоящих рядом одинаковых цифр?

Задача 136. Имеются четыре разные по весу гири и двухчашечные весы без стрелки. Сколько всего различных по весу грузов можно точно взвесить этими гирями, если

а) гири можно класть только на одну чашку весов;

б) гири можно класть на обе чашки весов?

Задача 137. Найдите число прямоугольников, составленных из клеток доски с m горизонталями и n вертикалями, которые содержат клетку с координатами (p, q).

Задача 120 остаётся ещё раз.

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/og9cwxozmjsge4c/8%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2020%2017.03.pdf?dl=0

Домашняя на 17 марта: Снова комбинаторика

Важно! Ответ (даже правильный!) не считается правильным решением и без объяснения не засчитывается.

Задача 121. Царь, царевич, король, королевич, сапожник и портной хотят сесть в ряд на верхней ступеньке златого крыльца. Сколькими способами они могут это сделать?

Задача 122. Вася хочет развесить на веревке футболки: 3 синих, белую и желтую. Одноцветные футболки одинаковы. Сколько способов сделать это есть у Васи?

Задача 123. В комнате студенческого общежития живут трое студентов. У них есть 4 чашки, 5 блюдец и 6 чайных ложек (все чашки, блюдца и ложки отличаются друг от друга). Сколькими способами они могут накрыть стол для чаепития (то есть дать каждому студенту чашку, блюдце и ложку)?

Задача 124. Научное общество состоит из 25 человек. Надо выбрать президента общества, вице-президента, учёного секретаря и казначея. Сколькими способами может быть сделан этот выбор, если каждый член общества может занимать лишь один пост?

Задача 125. Сколько способов выбрать из 12 инопланетян 6 для разведки Земли?

Задача 126. Сколько способов разделить 12 инопланетян на две команды по 6 персон для игры в космобол?

Задача 127. Двенадцать инопланетян решили навестить знакомых с Земли. У них есть 4 различные тарелки, в каждую из которых должны сесть ровно трое. Сколько у инопланетян

а) способов составить четыре экипажа по три инопланетянина,

б) способов разместиться по тарелкам;

Задача 128. Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых есть по меньшей мере одна четная цифра?

Задача 129. Во дворе росло 13 деревьев. К ним привязали бельевые верёвки так, что между каждыми двумя деревьями натянута ровно одна верёвка. Сколько всего натянули верёвок?

Задача 130. На плоскости отмечено 10 точек, и никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько есть треугольников с вершинами в этих точках?

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/tpj6b5847irug6h/8%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2019%2003.03.pdf?dl=0

Домашняя на 3 марта: Основная теорема арифметики

Задача 115. У фей Лили и Лулу есть много одинаковых лоскутков в форме уголков из трёх клеток. Лили хочет сшить себе плед 5×5, а Лулу — 7×7. У кого из них плед получится?

Задача 116. Простое или составное число 123456789? Изменится ли ответ, если в этом числе произвольно переставить цифры?

Задача 117. Существует ли такое натуральное число N, что сумма цифр числа 2N делится на 12?

Задача 118. Можно ли числа от 1 до 32 разбить на группы с одинаковыми произведениями?

Задача 119. Число a четно, но не делится на 4. Докажите, что у этого числа четных и нечетных делителей поровну.

Задача 120. Камни лежат в трех кучках: в одной — 51 камень, в другой — 49 камней, а в третьей — 5 камней. Разрешается объединять любые кучки в одну, а также разделять кучку из четного количества камней на две равные. Можно ли получить 105 кучек по одному камню в каждой?

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/4qy2t9xrwis3qc2/8%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2018%2024.02.pdf?dl=0

Занятие 24 февраля: Основная теорема арифметики

Простое число — число, у которого ровно два делителя. Составное число — число, у которого больше двух делителей.

Основная теорема арифметики: любое натуральное число можно разложить в произведение простых сомножителей единственным способом.

Два числа, дающие одинаковые остатки при делении на k, называются сравнимыми по модулю k. Записывается как ab (mod k) или просто ab (k).

Свойства: если ab (mod k) и cd (mod k), то:

a) a ± cb ± d (mod k).

b) acbd (mod k).

c) anbn (mod k).

Задача. Может ли быть так, что ни одно из данных двух целых чисел не делится на 6, а произведение этих чисел делится на 36?

Задача. Придумайте три различных числа, сумма которых делится на каждое из них.

Задача. Верно ли, что если число одновременно делится на 4 и на 6, то оно делится и на 24?

Задача. Для каждого k от 1 до 6 найдите наименьшее натуральное число, которое имеет k делителей.

Задача. Может ли число n! оканчиваться ровно на 5 нулей?

Задача. Найдите наименьшее составное число, которое не делится ни на одно из натуральных чисел от двух до десяти.

Задача. Не вычисляя произведения 2013 · 15 · 77, определите, делится ли оно на 2, 3, 9, 35, 55, 80, 6039.

Задача. Не вычисляя, докажите, что 84 + 85 + 86 + 87 + 88 + 89 + 90 делится на 7 и на 87.

Задача.

а) Число a четно. Верно ли, что 3a делится на 6?

b) Число 5b делится на 3. Верно ли, что b делится на 3?

c) Число 15c делится на 6. Верно ли, что c делится на 6?

 


Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 620;